$\frac{1}{4}$

$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$

Grundlagen der Bruchrechnung

Entdecke die grundlegenden Konzepte der Bruchrechnung und lerne, wie du Brüche richtig darstellst, erweiterst und kürzt.

Die Basics der Bruchrechnung

In der Bruchrechnung geht es darum, Teile eines Ganzen darzustellen. Hier lernst du die grundlegenden Konzepte und wie du mit Brüchen umgehst.

Was sind Brüche?

Brüche sind Zahlen, die einen Teil eines Ganzen darstellen. Sie bestehen aus einem Zähler und einem Nenner.

Aufbau eines Bruchs

3 4

Zähler: Steht oben im Bruch (3)
Gibt an, wie viele Teile wir betrachten

Bruchstrich: Trennt Zähler und Nenner
Steht für "geteilt durch"

Nenner: Steht unten im Bruch (4)
Gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt wird

Wichtige Begriffe

Echter Bruch: Der Zähler ist kleiner als der Nenner (z.B. $\frac{3}{4}$)
Unechter Bruch: Der Zähler ist größer als oder gleich dem Nenner (z.B. $\frac{5}{4}$)
Gemischte Zahl: Eine ganze Zahl mit einem echten Bruch (z.B. $2\frac{1}{4}$)
Kehrwert: Zähler und Nenner werden vertauscht (z.B. Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{4}{3}$)

Brüche visualisieren

Um Brüche besser zu verstehen, können wir sie visualisieren:

3 4

$\frac{3}{4}$ eines Kreises

3 4

$\frac{3}{4}$ eines Rechtecks

Beispiel aus dem Alltag: Pizza

Stell dir vor, du hast eine Pizza, die in 8 gleiche Stücke geteilt wurde. Wenn du 3 Stücke isst, hast du $\frac{3}{8}$ der Pizza gegessen.

Der Zähler (3) gibt an, wie viele Stücke du gegessen hast. Der Nenner (8) gibt an, in wie viele Stücke die gesamte Pizza geteilt wurde.

Brüche erweitern und kürzen

Brüche können in verschiedenen Schreibweisen den gleichen Wert haben. Durch Erweitern und Kürzen kannst du zwischen diesen Schreibweisen wechseln.

Brüche erweitern

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

1 2

· 2

2 4

· 3

6 12

Beispiel: Erweitern mit 3

Erweitere den Bruch $\frac{2}{5}$ mit 3:

Multipliziere Zähler und Nenner mit 3:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

Der Bruch $\frac{6}{15}$ hat den gleichen Wert wie $\frac{2}{5}$, aber eine andere Schreibweise.

Brüche kürzen

Beim Kürzen dividierst du Zähler und Nenner durch den gleichen gemeinsamen Teiler. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$

8 12

÷ 4

2 3

Beispiel: Kürzen mit gemeinsamen Teilern

Kürze den Bruch $\frac{15}{25}$ vollständig:

Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 15 und 25:

15 = 3 · 5 und 25 = 5 · 5, also ist der ggT = 5

Dividiere Zähler und Nenner durch den ggT:

$\frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$

Der Bruch $\frac{3}{5}$ ist der vollständig gekürzte Bruch.

Tipp zum Kürzen

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, dividiere Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Einen gemeinsamen Teiler findest du, indem du prüfst, durch welche Zahl sich sowohl Zähler als auch Nenner ohne Rest teilen lassen.

Beispiel: $\frac{18}{24}$
18 und 24 lassen sich beide durch 6 teilen.
$\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Brüche vergleichen

Um Brüche zu vergleichen, müssen wir sie oft auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Brüche mit gleichem Nenner vergleichen

Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.

Beispiel: Brüche mit gleichem Nenner

Vergleiche $\frac{2}{5}$ und $\frac{3}{5}$

Da beide Brüche den gleichen Nenner (5) haben, können wir direkt die Zähler vergleichen. Da 3 > 2 ist, gilt: $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$

Brüche mit unterschiedlichem Nenner vergleichen

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner.

Beispiel: Brüche mit unterschiedlichem Nenner

Vergleiche $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{5}$

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV) von 3 und 5: kgV(3, 5) = 15

Erweitere den ersten Bruch auf den Nenner 15:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

Erweitere den zweiten Bruch auf den Nenner 15:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

Vergleiche die Zähler:

10 > 9, also gilt: $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$

Tipp zum Vergleichen

Eine weitere Methode zum Vergleichen von Brüchen ist das Überkreuzmultiplizieren:

Um $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ zu vergleichen:
Berechne a·d und b·c
Wenn a·d > b·c, dann ist $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$
Wenn a·d < b·c, dann ist $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$
Wenn a·d = b·c, dann ist $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Nächste Schritte

Nachdem du die Grundlagen der Bruchrechnung kennengelernt hast, kannst du jetzt:

Die Addition und Subtraktion von Brüchen kennenlernen
Die Multiplikation und Division von Brüchen üben
Textaufgaben mit Brüchen lösen
Den Umgang mit gemischten Zahlen und Dezimalzahlen vertiefen