e^x

y = a·b^(x+c)+d

2^x

Die Exponentialfunktion und ihre Parameter

Entdecke die faszinierende Welt der Exponentialfunktion. Experimentiere mit Parametern, verstehe ihre Bedeutung und lerne, wie sie die Form und Lage der Kurve beeinflussen.

Interaktives GeoGebra-Applet

Verwende die Schieberegler, um die Parameter der allgemeinen Exponentialfunktion \(f(x) = a \cdot b^{x+c} + d\) anzupassen und ihre Auswirkungen zu beobachten.

Interaktive Übungsaufgaben

In diesen Übungen sollst du die Parameter einer Exponentialfunktion im GeoGebra-Applet so anpassen, dass sie die vorgegebenen Eigenschaften besitzt. Arbeite mit den Schiebereglern, bis deine Funktion die geforderte Form hat.

Übung 1: Grundform der Exponentialfunktion

Stelle im GeoGebra-Applet eine Exponentialfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

Faktor: a = 1
Basis: b = 2
Keine horizontale Verschiebung: c = 0
Keine vertikale Verschiebung: d = 0

Dies entspricht der Grundform \(f(x) = 2^x\)

Übung 2: Faktor anpassen

Stelle eine Exponentialfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

Faktor: a = 3
Basis: b = 2
Keine horizontale Verschiebung: c = 0
Keine vertikale Verschiebung: d = 0

Dies entspricht der Form \(f(x) = 3 \cdot 2^x\)

Übung 3: Basis anpassen

Stelle eine Exponentialfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

Faktor: a = 1
Basis: b = 0.5
Keine horizontale Verschiebung: c = 0
Keine vertikale Verschiebung: d = 0

Dies entspricht der Form \(f(x) = 0.5^x\), einer fallenden Exponentialfunktion.

Übung 4: Horizontale Verschiebung

Stelle eine Exponentialfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

Faktor: a = 1
Basis: b = 2
Horizontale Verschiebung: c = -2
Keine vertikale Verschiebung: d = 0

Dies entspricht der Form \(f(x) = 2^{x-2}\)

Übung 5: Kombination aller Parameter

Stelle eine Exponentialfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

Faktor: a = 2
Basis: b = 3
Horizontale Verschiebung: c = -1
Vertikale Verschiebung: d = -4

Dies entspricht der Form \(f(x) = 2 \cdot 3^{x-1} - 4\)

Die allgemeine Exponentialfunktion

Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet:

\[ f(x) = a \cdot b^{x+c} + d \]

Jeder Parameter beeinflusst die Kurve auf eine bestimmte Weise:

a: Streckfaktor (Multiplikator der gesamten Funktion)
b: Basis (bestimmt Wachstumsrate und Steigung)
c: Horizontale Verschiebung
d: Vertikale Verschiebung

Hinweis: Die Exponentialfunktion wächst für b > 1 und fällt für 0 < b < 1. Für b = 1 erhalten wir eine konstante Funktion f(x) = a + d.

Die Bedeutung der Parameter

Parameter a: Streckfaktor

Der Faktor a bestimmt, wie stark die gesamte Exponentialfunktion gestreckt oder gestaucht wird:

Für \(|a| > 1\): Die Kurve wird vertikal gestreckt
Für \(0 < |a| < 1\): Die Kurve wird vertikal gestaucht
Für \(a < 0\): Die Kurve wird an der x-Achse gespiegelt

Der Faktor a beeinflusst somit die "Steilheit" des Graphen.

Parameter b: Basis

Die Basis b bestimmt das grundlegende Wachstumsverhalten:

Für \(b > 1\): Die Funktion wächst (steigender Graph)
Für \(0 < b < 1\): Die Funktion fällt (fallender Graph)
Für \(b = 1\): Die Funktion ist konstant: \(f(x) = a + d\)
Für \(b < 0\): Die Funktion ist nicht definiert für rationale x mit geradem Nenner

Die Basis b = e ≈ 2,71828... ist besonders wichtig für natürliche Wachstumsprozesse und führt zur natürlichen Exponentialfunktion.

Parameter c: Horizontale Verschiebung

Der Parameter c bewirkt eine horizontale Verschiebung der Kurve:

Für \(c > 0\): Die Kurve wird um \(c\) Einheiten nach links verschoben
Für \(c < 0\): Die Kurve wird um \(|c|\) Einheiten nach rechts verschoben

Beachte: Bei \(b^{x+c}\) bedeutet ein positives c eine Verschiebung nach links. Dies lässt sich auch als \(b^{x} \cdot b^{c}\) schreiben, wobei \(b^{c}\) ein konstanter Faktor ist.

Parameter d: Vertikale Verschiebung

Der Parameter d verschiebt die gesamte Kurve entlang der y-Achse:

Für \(d > 0\): Die Kurve wird um d Einheiten nach oben verschoben
Für \(d < 0\): Die Kurve wird um |d| Einheiten nach unten verschoben

Dies ändert auch die horizontale Asymptote der Funktion, die nun bei y = d liegt (für b < 1).

Beispiele und Anwendungen der Exponentialfunktion

Anwendungen in Naturwissenschaft und Wirtschaft

Exponentielles Wachstum in der Biologie

Die Wachstumsrate von Bakterienpopulationen kann durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden:

\[ N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T} \]

Hierbei ist:

\(N_0\): Die Anfangspopulation zum Zeitpunkt t = 0
\(T\): Die Verdopplungszeit (Zeit, in der sich die Population verdoppelt)
\(t\): Die vergangene Zeit

Zinseszinsrechnung

Das Anwachsen von Kapital mit Zinseszins wird durch folgende Exponentialfunktion beschrieben:

\[ K(t) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t \]

Dabei ist:

\(K_0\): Das Anfangskapital
\(p\): Der jährliche Zinssatz in Prozent
\(t\): Die Anlagedauer in Jahren

Spezielle Exponentialfunktionen

Beispiel 1: \(f(x) = 3 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^{x+0} + 0\)

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

Streckfaktor: \(a = 3\) (dreimal so hoch wie die Standardfunktion)
Basis: \(b = 2\) (Verdopplung pro Einheit auf der x-Achse)
Keine horizontale Verschiebung (\(c = 0\))
Keine vertikale Verschiebung (\(d = 0\))
Schnittpunkt mit der y-Achse bei \(f(0) = 3\)

Beispiel 2: \(f(x) = e^{x-1} + 2 = 1 \cdot e^{x+(-1)} + 2\)

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

Streckfaktor: \(a = 1\) (Standardamplitude)
Basis: \(b = e \approx 2,71828\) (natürliche Exponentialfunktion)
Horizontale Verschiebung: \(c = -1\), verschiebt die Kurve um 1 Einheit nach rechts
Vertikale Verschiebung: \(d = 2\), verschiebt die Kurve um 2 Einheiten nach oben
Schnittpunkt mit der y-Achse bei \(f(0) = e^{-1} + 2 \approx 2,37\)
Horizontale Asymptote bei \(y = 2\) (für \(x \to -\infty\))

Übungen zur Exponentialfunktion

Übung 1: Parameter bestimmen

Bestimme die Parameter a, b, c und d für die folgende Funktion:

\[ f(x) = 4 \cdot 3^{x-2} + 1 \]

Wir vergleichen mit der Standardform \(f(x) = a \cdot b^{x+c} + d\).

Für \(f(x) = 4 \cdot 3^{x-2} + 1\) können wir umformen zu \(f(x) = 4 \cdot 3^{x+(-2)} + 1\)

Daraus folgt:

Der Streckfaktor ist \(a = 4\).
Die Basis ist \(b = 3\).
Die horizontale Verschiebung ist \(c = -2\) (also eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts).
Die vertikale Verschiebung ist \(d = 1\).

Die Funktion schneidet die y-Achse bei \(f(0) = 4 \cdot 3^{-2} + 1 = 4 \cdot \frac{1}{9} + 1 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{4 + 9}{9} = \frac{13}{9} \approx 1,44\)

Übung 2: Funktionsgleichung aufstellen

Stelle die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf, die folgende Eigenschaften hat:

Die Funktion geht durch den Punkt (0, 5)
Die Basis ist 2
Die Funktion ist um 3 Einheiten nach unten verschoben

Wir verwenden die allgemeine Form \(f(x) = a \cdot b^{x+c} + d\) und setzen die gegebenen Werte ein:

Basis: \(b = 2\)
Vertikale Verschiebung: \(d = -3\)
Keine horizontale Verschiebung, also \(c = 0\)

Die Funktion geht durch den Punkt (0, 5), also gilt: \(f(0) = 5\)

Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(a \cdot 2^0 + (-3) = 5\)

\(a \cdot 1 - 3 = 5\)

\(a = 8\)

Damit ergibt sich die Funktionsgleichung:

\[ f(x) = 8 \cdot 2^x - 3 \]

Übung 3: Halbwertszeit berechnen

Die Menge eines radioaktiven Materials lässt sich durch die Funktion \(f(t) = 100 \cdot 0.85^t\) beschreiben, wobei t in Jahren gemessen wird.

Berechne die Halbwertszeit des Materials, also die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Menge vorhanden ist.

Die Anfangsmenge bei t = 0 beträgt \(f(0) = 100 \cdot 0.85^0 = 100\).

Die Halbwertszeit t₁/₂ ist der Zeitpunkt, an dem die Menge auf 50 gesunken ist:

\(f(t_{1/2}) = 100 \cdot 0.85^{t_{1/2}} = 50\)

Umformen nach t₁/₂:

\(0.85^{t_{1/2}} = \frac{50}{100} = 0.5\)

Logarithmieren (mit beliebigem Logarithmus, hier verwenden wir den natürlichen Logarithmus):

\(\ln(0.85^{t_{1/2}}) = \ln(0.5)\)

\(t_{1/2} \cdot \ln(0.85) = \ln(0.5)\)

\(t_{1/2} = \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.85)}\)

\(t_{1/2} = \frac{-0.693}{-0.163} \approx 4.25\)

Die Halbwertszeit beträgt also etwa 4,25 Jahre.