Volumen von Prismen
Entdecke die Herleitung der Volumenformel für Prismen und lerne, wie man verschiedene Prismentypen berechnet.
Interaktive Prisma-Berechnung
3D-Modell eines Prismas
Prisma berechnen
Herleitung der Volumenformel für Prismen
Die Volumenformel für Prismen wird schrittweise hergeleitet, beginnend mit einem Quader, über ein dreiseitiges Prisma bis hin zum beliebigen Prisma.
Die Herleitung erfolgt in drei Schritten – vom einfachsten Fall (Quader) über einen Spezialfall (dreiseitiges Prisma) bis zum allgemeinen Fall (beliebiges Prisma).
Schritt 1: Formel für das Volumen eines Quaders
Die vermutete Formel für ein Prisma lautet \(V_P = A_G \cdot h\) (Grundfläche mal Höhe).
Kann die vermutete Formel für den Quader angewendet werden?
Schritt 2: Formel für das Volumen eines dreiseitigen Prismas
Wird ein Quader durch eine Diagonale halbiert, erhält man zwei kongruente dreiseitige Prismen (Spezialfall).
Quader vor dem Schnitt
Zwei kongruente dreiseitige Prismen
Da die beiden Hälften kongruent sind, hat jedes dreiseitige Prisma genau das Volumen dieses Prismas ist genau halb so groß (die Hälfte) wie das des Quaders.
Aus diesem Grund hat es die Volumenformel: \(V_P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c\)
Kann die vermutete Formel \(V_P = A_G \cdot h\) für dieses Prisma angewendet werden?
Schritt 3: Formel für das Volumen eines beliebigen Prismas
Ein beliebiges Prisma habe die Grundfläche \(A_G\). In der vorangegangenen Stunde haben wir gezeigt, dass sich Vielecke in Dreiecke zerlegen lassen.
Entsprechend lässt sich jedes Prisma in dreiseitige Prismen zerlegen.
Beliebiges Prisma
Grundfläche in Dreiecke zerlegt
Dreiseitige Teilprismen
Für diese Prismen dürfen wir die Formel \(V_P = A_G \cdot h\) (Grundfläche mal Höhe) anwenden. Wir können deshalb für das Volumen des gesamten Prismas schreiben:
\(V_P = \) \(A_1 \cdot h + A_2 \cdot h + \ldots + A_n \cdot h\)
\(= \) \(h \cdot (A_1 + A_2 + \ldots + A_n)\)
Die Summe in der Klammer entspricht nun aber genau \(A_G\) (der gesamten Grundfläche).
Somit ergibt sich für das abgebildete Prisma die Formel: \(V_P = A_G \cdot h\)
Die schrittweise Zerlegung eines Prismas in dreiseitige Teilprismen kannst du weiter unten auf dieser Seite interaktiv nachvollziehen.
Ergebnis der Herleitung
Für jedes Prisma gilt:
(Grundfläche × Höhe)
Visualisierung der Zerlegung eines Prismas
Wir beginnen mit einem Prisma mit vieleckiger Grundfläche. Das Volumen des Prismas berechnen wir, indem wir die Grundfläche in Dreiecke zerlegen.
Übungen und Aufgaben zu Prismen
In diesem Abschnitt kannst du dein Wissen über Prismen, ihre Volumina und Grundflächen testen und vertiefen.
Übung 1: Volumen verschiedener Prismen berechnen
Berechne das Volumen der folgenden Prismen mit der Höhe \(h = 14{,}1\) cm.
a) Regelmäßiges Achteck
Seitenlänge \(a = 4\) cm, Dreieckshöhe \(h_d = 4{,}9\) cm
b) Quadrat
Seitenlänge \(a = 7{,}2\) cm
c) Dreieck
Grundseite \(g = 8{,}5\) cm, Höhe \(h_d = 7{,}5\) cm
Übung 2: Grundflächen berechnen
Bei den folgenden Prismen ist das Volumen und die Höhe gegeben. Berechne die Fläche der Grundfläche.
| Prisma | Volumen | Höhe | Grundfläche |
|---|---|---|---|
| Quader | 420 cm³ | 10 cm | cm² |
| Dreieckiges Prisma | 282 cm³ | 12 cm | cm² |
| Sechseckiges Prisma | 840 cm³ | 8 cm | cm² |
Übung 3: Anwendungsaufgaben
Löse diese anwendungsbezogenen Aufgaben zur Berechnung von Prismen.
Aufgabe 1: Wasserturm
Ein zylindrischer Wasserturm (Kreiszylinder ist ein Spezialfall eines Prismas) hat einen Innendurchmesser von 8 m und ist 15 m hoch. Wie viel Liter Wasser kann der Tank maximal fassen?
Aufgabe 2: Holzbalken
Ein Holzbalken hat die Form eines sechseckigen Prismas mit einer Seitenlänge von 5 cm und einer Höhe von 2,5 m. Wie groß ist sein Volumen in Kubikzentimetern?
Anwendungen von Prismen im Alltag
Hier sind einige Beispiele für Prismen in unserem Alltag:
| Prisma | Beispiel | Typische Form | Anwendungsbereich |
|---|---|---|---|
| Quader | Schuhkarton, Ziegelstein | Rechteckige Grundfläche | Verpackungen, Baumaterial |
| Dreieckiges Prisma | Toblerone-Verpackung, Dachsparren | Dreieckige Grundfläche | Lebensmittelverpackungen, Dachkonstruktionen |
| Fünfeckiges Prisma | Bleistifte | Fünfeckige Grundfläche | Schreibwaren |
| Sechseckiges Prisma | Schraubenmuttern, Bleistifte | Sechseckige Grundfläche | Befestigungselemente, Schreibwaren |
| Zylinder | Konservendosen, Wasserleitungen | Kreisförmige Grundfläche | Behälter, Rohre |