$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

Addition und Subtraktion von Brüchen

Lerne, wie du Brüche addieren und subtrahieren kannst - sowohl mit gleichem als auch mit unterschiedlichem Nenner.

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Addition von Brüchen mit gleichem Nenner

Regel: Addition von Brüchen mit gleichem Nenner

Bei der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner addierst du einfach die Zähler. Der Nenner bleibt unverändert.

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Denke daran, das Ergebnis wenn möglich zu kürzen!

Beispiel: Addition gleichnamiger Brüche

Berechne $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$

1

Gleichnamige Brüche erkennen

Die Brüche haben beide den Nenner 7, also handelt es sich um gleichnamige Brüche.

2

Zähler addieren

Wir addieren die Zähler: $2 + 3 = 5$

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}$
3

Ergebnis überprüfen

Der Bruch $\frac{5}{7}$ kann nicht weiter gekürzt werden, da 5 und 7 teilerfremd sind.

Veranschaulichung der Addition $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$

$\frac{2}{7}$

+

$\frac{3}{7}$

=

$\frac{5}{7}$

Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner

Regel: Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

In einfacheren Worten:

  1. Multipliziere den ersten Zähler mit dem zweiten Nenner
  2. Multipliziere den zweiten Zähler mit dem ersten Nenner
  3. Addiere diese beiden Ergebnisse im Zähler
  4. Multipliziere die beiden Nenner für den gemeinsamen Nenner
  5. Kürze das Ergebnis, wenn möglich

Ein Beispiel: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$

Beispiel: Addition ungleichnamiger Brüche

Berechne $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$

1

Direkte Methode anwenden

Wir wenden die Formel direkt an:

$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12}$
2

Alternative Methode: Gemeinsamen Nenner finden

Wir können auch den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV) von 4 und 3 bestimmen, welcher 12 ist.

Dann erweitern wir die Brüche:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

Nun können wir die Zähler addieren:

$\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12}$
3

Ergebnis überprüfen

Der Bruch $\frac{11}{12}$ kann nicht weiter gekürzt werden, da 11 und 12 teilerfremd sind.

Tipp: Gemeinsamen Nenner finden

Es gibt zwei Hauptmethoden, um einen gemeinsamen Nenner zu finden:

  1. Produktmethode: Multipliziere einfach beide Nenner miteinander. Dies funktioniert immer, führt aber manchmal zu unnötig großen Nennern.
  2. kgV-Methode: Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.

Beispiel mit der Produktmethode:
Für $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ist der gemeinsame Nenner $2 \cdot 3 = 6$.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Subtraktion von Brüchen

Regel: Subtraktion von Brüchen

Die Subtraktion von Brüchen funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie die Addition:

Bei gleichem Nenner: Subtrahiere die Zähler und behalte den gleichen Nenner.

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Bei unterschiedlichen Nennern: Bringe die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.

Beispiel 1: Subtraktion mit gleichem Nenner

Berechne $\frac{5}{8} - \frac{2}{8}$

1

Gleichnamige Brüche erkennen

Die Brüche haben beide den Nenner 8, also handelt es sich um gleichnamige Brüche.

2

Zähler subtrahieren

Wir subtrahieren die Zähler: $5 - 2 = 3$

$\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5 - 2}{8} = \frac{3}{8}$
3

Ergebnis überprüfen

Der Bruch $\frac{3}{8}$ kann nicht weiter gekürzt werden, da 3 und 8 teilerfremd sind.

Beispiel 2: Subtraktion mit unterschiedlichem Nenner

Berechne $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$

1

Gemeinsamen Nenner finden

Die Nenner sind 4 und 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 4 und 6 ist 12.

2

Brüche erweitern

Erweitere den ersten Bruch: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Erweitere den zweiten Bruch: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$

3

Zähler subtrahieren

Nun haben wir gleichnamige Brüche und können die Zähler subtrahieren:

$\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9 - 2}{12} = \frac{7}{12}$
4

Ergebnis überprüfen

Der Bruch $\frac{7}{12}$ kann nicht weiter gekürzt werden, da 7 und 12 teilerfremd sind.

Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen

Regel: Rechnen mit gemischten Zahlen

Bei gemischten Zahlen (z.B. $2\frac{3}{4}$) gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Methode 1: Wandle die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche um.
  2. Methode 2: Rechne die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt und füge sie dann zusammen.

Beispiel: Addition gemischter Zahlen (Methode 1)

Berechne $2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2}$

1

Umwandlung in unechte Brüche

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

2

Addition der unechten Brüche

Finde den gemeinsamen Nenner: kgV(3, 2) = 6

$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{14}{6}$

$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$

$\frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14 + 9}{6} = \frac{23}{6}$
3

Umwandlung zurück in gemischte Zahl

$\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$

4

Ergebnis überprüfen

$2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2} = 3\frac{5}{6}$

Beispiel: Addition gemischter Zahlen (Methode 2)

Berechne $2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2}$

1

Ganze Zahlen addieren

2 + 1 = 3

2

Brüche addieren

Finde den gemeinsamen Nenner: kgV(3, 2) = 6

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

3

Ergebnisse zusammenfügen

3 + $\frac{5}{6} = 3\frac{5}{6}$

Tipp: Wann welche Methode?

Methode 1 (Umwandeln in unechte Brüche) ist besonders nützlich, wenn:

  • Bei der Subtraktion Borgen notwendig ist (z.B. $3\frac{1}{4} - 2\frac{2}{3}$)
  • Die Rechnung mit unechten Brüchen einfacher erscheint

Methode 2 (Getrennte Rechnung) ist oft einfacher, wenn:

  • Die ganzen Zahlen groß sind (z.B. $25\frac{1}{4} + 13\frac{2}{3}$)
  • Eine einfache Addition ohne Borgen erfolgt

Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Addition gleichnamiger Brüche

Berechne $\frac{3}{10} + \frac{4}{10}$

Aufgabe 2: Addition ungleichnamiger Brüche

Berechne $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$

Aufgabe 3: Subtraktion von Brüchen

Berechne $\frac{7}{8} - \frac{1}{4}$

Aufgabe 4: Addition gemischter Zahlen

Berechne $1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3}$

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