🎲
6 aus 49
%

Lotto 6 aus 49

Entdecke die Welt der Wahrscheinlichkeiten hinter dem Lottospiel. Erfahre, wie der Zufall funktioniert, berechne deine Gewinnchancen und erlebe eine interaktive Ziehungssimulation mit deinem eigenen Tippschein.

Tippschein

Superzahl:

Lottoziehung Simulation

Gezogene Zahlen

Mathematische Grundlagen

Beim Lotto "6 aus 49" geht es darum, aus 49 Zahlen die richtigen 6 Zahlen vorherzusagen. Zusätzlich gibt es eine Superzahl von 0–9.

Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Binomialkoeffizient

Die Anzahl möglicher Kombinationen bei 6 aus 49 berechnet sich mit dem Binomialkoeffizienten:

\(\displaystyle \binom{49}{6} = \frac{49!}{6!\cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13.983.816\)

Mit der Superzahl (0–9) erhöht sich die Anzahl der Kombinationen auf:

\(\displaystyle \binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1} = 13.983.816 \cdot 10 = 139.838.160\)

Die Wahrscheinlichkeit, genau die richtige 6er-Kombination zu tippen, berechnet sich als:

\(\displaystyle \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13.983.816}\)

Berücksichtigt man zusätzlich die Superzahl, so ergibt sich:

\(\displaystyle \frac{1}{\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} = \frac{1}{139.838.160}\)

Beispielberechnungen

Beispiel: 5 Richtige + 1 Falsche

- Anzahl möglicher Fälle: \(\displaystyle \binom{49}{6} = 13.983.816\)

- Anzahl günstiger Fälle: \(\displaystyle \binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1} = 6 \cdot 43 = 258\)

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige als Bruch:

\(\displaystyle \frac{\binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1}}{\binom{49}{6}} = \frac{258}{13.983.816}\)

Das entspricht ungefähr:

\(\displaystyle \frac{1}{54.201}\)

Beispiel: 6 Richtige

- Anzahl möglicher Fälle: \(\displaystyle \binom{49}{6} = 13.983.816\)

- Anzahl günstiger Fälle: \(\displaystyle \binom{6}{6} \cdot \binom{43}{0} = 1\)

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige als Bruch:

\(\displaystyle \frac{\binom{6}{6} \cdot \binom{43}{0}}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13.983.816}\)

Gewinnwahrscheinlichkeiten

Kategorie Formel Wahrscheinlichkeit
6 Richtige + Superzahl \[ \frac{\binom{6}{6} \cdot \binom{43}{0} \cdot \binom{1}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 139.838.160
6 Richtige \[ \frac{\binom{6}{6} \cdot \binom{43}{0} \cdot \binom{9}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 15.537.573
5 Richtige + Superzahl \[ \frac{\binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1} \cdot \binom{1}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 541.837
5 Richtige \[ \frac{\binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1} \cdot \binom{9}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 60.223
4 Richtige + Superzahl \[ \frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{43}{2} \cdot \binom{1}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 10.327
4 Richtige \[ \frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{43}{2} \cdot \binom{9}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 1.146
3 Richtige + Superzahl \[ \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} \cdot \binom{1}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 567
3 Richtige \[ \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} \cdot \binom{9}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 63
2 Richtige + Superzahl \[ \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{43}{4} \cdot \binom{1}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 76
1 Richtige + Superzahl \[ \frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{43}{5} \cdot \binom{1}{1}} {\binom{49}{6} \cdot \binom{10}{1}} \] 1 : 24

Übungen und Aufgaben zum Thema Lottowahrscheinlichkeiten

In diesem Abschnitt kannst du dein Wissen rund um die Wahrscheinlichkeitsrechnung im Kontext von Lottoziehungen testen und vertiefen.

Übung 1: Wahrscheinlichkeitsrechner

Berechne die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Gewinnkombinationen.

Übung 2: Verständnisfragen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teste dein Wissen mit diesen Multiple-Choice-Fragen.

Frage 1: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 49 zu ziehen?

Frage 2: Die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 6 aus 49 genau 3 Richtige zu haben, beträgt ungefähr:

Frage 3: Wenn du 10 Jahre lang jede Woche einen Lottoschein mit einer einzigen Zahlenkombination ausfüllst, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal 6 Richtige zu haben?

Übung 3: Langzeit-Simulation

Simuliere mehrere Lottoziehungen, um zu sehen, wie oft verschiedene Gewinnkategorien auftreten.

Simulationsergebnisse

Gewinnkategorie Anzahl Prozentsatz Erwartete Wahrscheinlichkeit

Übung 4: Textaufgaben zur Lottowahrscheinlichkeit

Löse diese Aufgaben rund um die Lotteriewahrscheinlichkeit.

Aufgabe 1: Gewinnsumme und Erwartungswert

Der Jackpot beim Lotto beträgt 10 Millionen Euro. Ein Lottoschein kostet 1 Euro. Berechne den Erwartungswert für einen Lottoschein, wenn nur der Hauptgewinn (6 Richtige + Superzahl) berücksichtigt wird.

Aufgabe 2: Vergleich mit anderen Ereignissen

Vergleiche die Wahrscheinlichkeit, im Lotto 6 Richtige zu bekommen (1:13.983.816), mit der Wahrscheinlichkeit, bei einem Würfelwurf mit 6 Würfeln nur Sechsen zu werfen.

Aufgabe 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wenn du bereits 5 richtige Zahlen getippt hast, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die sechste Zahl richtig ist?

Praktisches Tool: Wahrscheinlichkeitsvergleich

Vergleiche die Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen, mit anderen alltäglichen Ereignissen.

Ereignis Wahrscheinlichkeit Vergleich mit Lotto (6 Richtige)
Im Lotto 6 Richtige tippen 1 : 13.983.816 1x
Vom Blitz getroffen werden (pro Jahr) 1 : 1.000.000 ~14x wahrscheinlicher
Einen Royal Flush beim Poker bekommen 1 : 649.740 ~22x wahrscheinlicher
Fünf Würfel werfen und nur Sechsen erhalten 1 : 7.776 ~1.800x wahrscheinlicher
Einen Autounfall haben (pro Jahr) 1 : 70 ~200.000x wahrscheinlicher