$0,25 = \frac{1}{4}$
$0,\overline{3} = \frac{1}{3}$
$0,125 = \frac{1}{8}$

Bruchzahlen und Dezimalzahlen

Lerne, wie du zwischen Brüchen und Dezimalzahlen umrechnen kannst und verstehe den Zusammenhang.

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Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen

Regel: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teile den Zähler durch den Nenner. Diese Division kannst du schriftlich oder mit dem Taschenrechner durchführen.

$\frac{a}{b} = a \div b$

Bei der Umwandlung können verschiedene Arten von Dezimalzahlen entstehen:

  • Abbrechende Dezimalzahlen: Die Division ergibt eine endliche Anzahl von Nachkommastellen (z.B. $\frac{3}{4} = 0,75$)
  • Periodische Dezimalzahlen: Bei der Division wiederholt sich eine Ziffernfolge unendlich oft (z.B. $\frac{1}{3} = 0,333...$)

Beispiel 1: Abbrechende Dezimalzahl

Wandle $\frac{3}{8}$ in eine Dezimalzahl um.

1

Division durchführen

Teile 3 durch 8: $3 \div 8 = 0,375$

2

Ergebnis

$\frac{3}{8} = 0,375$

Dies ist eine abbrechende Dezimalzahl mit drei Nachkommastellen.

Beispiel 2: Periodische Dezimalzahl

Wandle $\frac{2}{3}$ in eine Dezimalzahl um.

1

Division durchführen

Teile 2 durch 3: $2 \div 3 = 0,6666...$

2

Ergebnis

$\frac{2}{3} = 0,\overline{6}$

Dies ist eine periodische Dezimalzahl. Der Strich über der 6 bedeutet, dass diese Ziffer sich unendlich oft wiederholt.

Tipp: Wann entstehen abbrechende Dezimalzahlen?

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ in gekürzter Form ergibt genau dann eine abbrechende Dezimalzahl, wenn der Nenner $b$ nur die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält.

Beispiele für Nenner, die abbrechende Dezimalzahlen ergeben:

  • 2 = $2^1$
  • 4 = $2^2$
  • 5 = $5^1$
  • 8 = $2^3$
  • 10 = $2 \cdot 5$
  • 20 = $2^2 \cdot 5$
  • 25 = $5^2$

Bei allen anderen Nennern entstehen periodische Dezimalzahlen.

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

Regel: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche hängt davon ab, ob es sich um abbrechende oder periodische Dezimalzahlen handelt.

Für abbrechende Dezimalzahlen:

  1. Schreibe die Dezimalzahl als Zähler eines Bruchs
  2. Als Nenner wähle 1 gefolgt von so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt
  3. Kürze den Bruch, wenn möglich

Für periodische Dezimalzahlen:

Hier benötigst du spezielle Umwandlungstechniken, die wir weiter unten betrachten.

Beispiel 1: Abbrechende Dezimalzahl in Bruch umwandeln

Wandle 0,25 in einen Bruch um.

1

Dezimalzahl als Bruch schreiben

0,25 hat zwei Nachkommastellen, also:

$0,25 = \frac{25}{100}$
2

Bruch kürzen

Der Bruch $\frac{25}{100}$ kann durch 25 gekürzt werden:

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
3

Ergebnis

$0,25 = \frac{1}{4}$

Beispiel 2: Umwandlung von 0,75

Wandle 0,75 in einen Bruch um.

1

Dezimalzahl als Bruch schreiben

0,75 hat zwei Nachkommastellen, also:

$0,75 = \frac{75}{100}$
2

Bruch kürzen

Der Bruch $\frac{75}{100}$ kann durch 25 gekürzt werden:

$\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
3

Ergebnis

$0,75 = \frac{3}{4}$

Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Regel: Umwandlung periodischer Dezimalzahlen

Für periodische Dezimalzahlen verwenden wir eine besondere Methode:

  1. Benenne die periodische Dezimalzahl als Variable (z.B. $x = 0,\overline{3}$)
  2. Multipliziere beide Seiten mit einer Zehnerpotenz, die die Periode an eine ganzzahlige Position verschiebt
  3. Subtrahiere die ursprüngliche Gleichung von der neuen Gleichung
  4. Löse nach der Variablen auf

Beispiel 1: Rein periodische Dezimalzahl

Wandle $0,\overline{3}$ (= 0,333...) in einen Bruch um.

1

Gleichung aufstellen

Setze $x = 0,\overline{3}$

2

Mit Zehnerpotenz multiplizieren

Multipliziere mit 10 (weil die Periode eine Stelle lang ist):

$10x = 3,\overline{3}$
3

Gleichungen subtrahieren

Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten:

$10x - x = 3,\overline{3} - 0,\overline{3}$
$9x = 3$
4

Nach x auflösen

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
5

Ergebnis

$0,\overline{3} = \frac{1}{3}$

Beispiel 2: Gemischt periodische Dezimalzahl

Wandle $0,2\overline{7}$ (= 0,2777...) in einen Bruch um.

1

Gleichung aufstellen

Setze $x = 0,2\overline{7}$

2

Mit Zehnerpotenz multiplizieren

Multipliziere mit 10 (um die Vorperiode zu berücksichtigen):

$10x = 2,\overline{7}$

Multipliziere nochmals mit 10 (für die einstellige Periode):

$100x = 27,\overline{7}$
3

Gleichungen subtrahieren

Subtrahiere die erste von der zweiten Gleichung:

$100x - 10x = 27,\overline{7} - 2,\overline{7}$
$90x = 25$
4

Nach x auflösen

$x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$
5

Ergebnis

$0,2\overline{7} = \frac{5}{18}$

Dezimalbrüche als Dezimalzahlen

Regel: Dezimalbrüche

Dezimalbrüche sind Brüche, deren Nenner eine Zehnerpotenz ist (10, 100, 1000, ...). Diese sind besonders einfach in Dezimalzahlen umzuwandeln.

$\frac{a}{10^n} = 0,\underbrace{00...0}_{n-1\text{ Nullen}}a$ bei $a < 10$

Allgemein gilt: Ein Dezimalbruch $\frac{a}{10^n}$ hat genau $n$ Nachkommastellen.

Beispiele für Dezimalbrüche

1

Beispiel mit Nenner 10

$\frac{3}{10} = 0,3$
2

Beispiel mit Nenner 100

$\frac{42}{100} = 0,42$
3

Beispiel mit Nenner 1000

$\frac{7}{1000} = 0,007$

Tipp: Prozentrechnung und Dezimalzahlen

Prozentangaben lassen sich leicht in Dezimalzahlen umwandeln:

  • 1% = 0,01
  • 10% = 0,1
  • 25% = 0,25
  • 50% = 0,5
  • 75% = 0,75
  • 100% = 1

Ebenso kann man Prozentangaben als Brüche schreiben:

  • 25% = $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
  • 50% = $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
  • 75% = $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Wandle folgende Brüche in Dezimalzahlen um:

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{3}{5}$

c) $\frac{7}{8}$

d) $\frac{2}{9}$

Aufgabe 2: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Wandle folgende Dezimalzahlen in vollständig gekürzte Brüche um:

a) 0,4

b) 0,125

c) 0,375

d) 0,85

Aufgabe 3: Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Wandle folgende periodische Dezimalzahlen in Brüche um:

a) $0,\overline{6}$ (= 0,666...)

b) $0,\overline{27}$ (= 0,272727...)

c) $0,3\overline{6}$ (= 0,3666...)

Aufgabe 4: Gemischte Übungen

a) Wandle 45% in einen Bruch und in eine Dezimalzahl um.

b) Stelle $\frac{5}{6}$ als Dezimalzahl dar.

c) Welcher Bruch entspricht 0,0625?

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