Textaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeiten im Alltag berechnen

Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnet uns im Alltag viel häufiger, als wir denken - beim Wetter, bei Spielen, in der Schule und in vielen anderen Situationen. Hier findest du verschiedene Textaufgaben mit Bezug zum Alltag, die dir helfen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung besser zu verstehen und anzuwenden.

Wähle eine der folgenden Aufgaben aus, um mehr zu erfahren und deine Fähigkeiten zu trainieren:

Regenwetter

Am Wochenende soll es mit 70% Wahrscheinlichkeit regnen. Wie wahrscheinlich ist es, dass es sowohl am Samstag als auch am Sonntag regnet?

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Kleiderschrank

Im dunklen Kleiderschrank sind 4 rote, 3 blaue und 5 schwarze T-Shirts. Wenn du zufällig 2 T-Shirts herausnimmst, wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens eines rot ist?

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Münzspiel

Bei einem Spiel wirfst du dreimal hintereinander eine Münze. Du gewinnst, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint. Wie groß ist deine Gewinnchance?

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Fahrrad-Pannen

Die Wahrscheinlichkeit, auf dem Weg zur Schule einen platten Reifen zu bekommen, beträgt 5%. Wie wahrscheinlich ist es, dass du in einer 5-Tage-Schulwoche keinen platten Reifen bekommst?

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Glücksrad

Bei einem Schulfest gibt es ein Glücksrad mit 8 gleich großen Feldern: 3 rote, 2 blaue, 2 gelbe und 1 grünes. Wie wahrscheinlich ist es, dass du bei 2 Versuchen mindestens einmal Rot oder Blau triffst?

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Würfelspiel

Bei einem Würfelspiel musst du mit zwei Würfeln würfeln. Du gewinnst, wenn die Summe der Augenzahlen größer als 9 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?

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Lösung: Regenwetter

Analyse der Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass es an beiden Tagen regnet - also am Samstag UND am Sonntag. Das Schlüsselwort "UND" deutet darauf hin, dass wir die 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) anwenden müssen.

Gegeben ist, dass es an einem Tag mit 70% Wahrscheinlichkeit regnet.

Berechnung mit Baumdiagramm

Wir betrachten zwei Tage nacheinander und können für jeden Tag zwei mögliche Ereignisse haben: Entweder es regnet oder es regnet nicht.

Für jeden Tag gilt:

P(Regen) = 0,7 = 70%
P(kein Regen) = 1 - 0,7 = 0,3 = 30%

Anwendung der 1. Pfadregel

Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für "Regen an beiden Tagen" als Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

P(Regen am Samstag UND Regen am Sonntag) = P(Regen am Samstag) · P(Regen am Sonntag)

P(Regen an beiden Tagen) = 0,7 · 0,7 = 0,49 = 49%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass es sowohl am Samstag als auch am Sonntag regnet, beträgt 49%.

Bemerkung: Diese Berechnung geht davon aus, dass die Wettervorhersagen für beide Tage unabhängig voneinander sind. In der Realität könnte das Wetter am Sonntag durchaus vom Wetter am Samstag abhängen.

Praxistipp

Achte bei Textaufgaben auf Schlüsselwörter wie "und", "oder", "mindestens" usw. Sie geben dir Hinweise darauf, welche Pfadregel angewendet werden muss:

"UND", "sowohl... als auch" → 1. Pfadregel (Multiplikation)
"ODER", "mindestens eines von beiden" → 2. Pfadregel (Addition)

Lösung: Kleiderschrank

Analyse der Aufgabenstellung

Wir haben insgesamt 4 + 3 + 5 = 12 T-Shirts im Kleiderschrank.

Davon sind 4 rot, 3 blau und 5 schwarz.

Wir ziehen 2 T-Shirts heraus und wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eines rot ist. Das Wort "mindestens" deutet auf die 2. Pfadregel (Additionsregel) hin.

Da wir ohne Zurücklegen ziehen, ändert sich die Zusammensetzung nach dem ersten Zug.

Lösungsstrategie

Bei der Formulierung "mindestens ein rotes T-Shirt" können wir entweder direkt alle günstigen Fälle betrachten oder über das Gegenereignis "kein rotes T-Shirt" arbeiten.

Da die Berechnung über das Gegenereignis einfacher ist, wählen wir diesen Ansatz:

P(mindestens ein rotes T-Shirt) = 1 - P(kein rotes T-Shirt)

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "kein rotes T-Shirt"

Wenn wir kein rotes T-Shirt ziehen wollen, müssen beide gezogenen T-Shirts entweder blau oder schwarz sein.

Insgesamt gibt es 3 + 5 = 8 nicht-rote T-Shirts unter den 12 T-Shirts.

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug ein nicht-rotes T-Shirt zu ziehen:

P(erstes nicht rot) = 8/12 = 2/3 ≈ 0,667

Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug ein nicht-rotes T-Shirt zu ziehen, nachdem das erste nicht-rot war:

P(zweites nicht rot | erstes nicht rot) = 7/11 ≈ 0,636

Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Pfad:

P(kein rotes T-Shirt) = P(erstes nicht rot) · P(zweites nicht rot)

P(kein rotes T-Shirt) = 2/3 · 7/11 = 14/33 ≈ 0,424

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Jetzt können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

P(mindestens ein rotes T-Shirt) = 1 - P(kein rotes T-Shirt) = 1 - 14/33 = 19/33 ≈ 0,576 = 57,6%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei zufällig gezogenen T-Shirts mindestens ein rotes zu erhalten, beträgt etwa 57,6% oder ungefähr 58%.

Die Lösung über das Gegenereignis ist hier besonders praktisch, weil es einfacher ist, den Fall "kein rotes T-Shirt" zu berechnen als alle Fälle mit "mindestens einem roten T-Shirt" einzeln zu betrachten.

Lösung: Münzspiel

Analyse der Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe haben wir folgende Informationen:

Wir werfen dreimal eine Münze
Wir gewinnen, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint
Das bedeutet: Wir gewinnen, wenn wir zweimal oder dreimal Kopf werfen
Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/2 = 0,5 = 50%

Bestimmen aller möglichen Ergebnisse

Bei drei Münzwürfen gibt es insgesamt 2³ = 8 mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind:

Kopf - Kopf - Kopf (KKK)
Kopf - Kopf - Zahl (KKZ)
Kopf - Zahl - Kopf (KZK)
Kopf - Zahl - Zahl (KZZ)
Zahl - Kopf - Kopf (ZKK)
Zahl - Kopf - Zahl (ZKZ)
Zahl - Zahl - Kopf (ZZK)
Zahl - Zahl - Zahl (ZZZ)

Identifizieren der günstigen Ergebnisse

Wir gewinnen, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint. Das sind folgende Fälle:

KKK (3× Kopf)
KKZ (2× Kopf)
KZK (2× Kopf)
ZKK (2× Kopf)

Insgesamt gibt es also 4 günstige Ergebnisse.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen berechnen wir mit der Formel:

P(Gewinn) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse

P(Gewinn) = 4 / 8 = 1/2 = 0,5 = 50%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Münzwurf mindestens zweimal Kopf zu werfen, beträgt 50%.

Deine Gewinnchance liegt also bei 1:2 oder 50%.

Tipp

Bei Münzwürfen und ähnlichen Zufallsexperimenten ist es hilfreich, alle möglichen Ergebnisse systematisch aufzulisten. So kann man sicher sein, dass man keinen Fall übersieht.

Für die Berechnung "mindestens zweimal Kopf" könntest du auch die Wahrscheinlichkeiten für "genau zweimal Kopf" und "genau dreimal Kopf" berechnen und addieren.

Lösung: Fahrrad-Pannen

Analyse der Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe haben wir folgende Informationen:

Die Wahrscheinlichkeit für einen platten Reifen an einem Tag beträgt 5% (0,05)
Die Wahrscheinlichkeit, keinen platten Reifen an einem Tag zu bekommen, beträgt also 95% (0,95)
Wir betrachten 5 Schultage (eine Woche)
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, an keinem der 5 Tage einen platten Reifen zu bekommen

Anwendung der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass an keinem der 5 Tage ein platter Reifen auftritt, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für jeden Tag multiplizieren (UND-Verknüpfung):

P(keine Panne an 5 Tagen) = P(keine Panne Tag 1) · P(keine Panne Tag 2) · ... · P(keine Panne Tag 5)

Da die Wahrscheinlichkeit für "keine Panne" an jedem Tag gleich ist (0,95), können wir schreiben:

P(keine Panne an 5 Tagen) = 0,95^5

P(keine Panne an 5 Tagen) = 0,95^5 ≈ 0,7738 ≈ 77,38%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, in einer 5-Tage-Schulwoche keinen platten Reifen zu bekommen, beträgt etwa 77,38%.

Umgekehrt bedeutet das, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen platten Reifen in der Woche zu bekommen, etwa 1 - 0,7738 = 0,2262 = 22,62% beträgt.

Tipp für den Alltag

Bei solchen Aufgaben, wo das gleiche Ereignis mehrmals hintereinander auftreten (oder nicht auftreten) soll, kannst du die Einzelwahrscheinlichkeit einfach mit sich selbst multiplizieren (potenzieren).

Beispiel: P(Ereignis tritt n-mal nacheinander ein) = P(Ereignis)^n

Lösung: Glücksrad

Analyse der Aufgabenstellung

Das Glücksrad hat 8 gleich große Felder:

3 rote Felder
2 blaue Felder
2 gelbe Felder
1 grünes Feld

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Versuchen mindestens einmal ein rotes oder blaues Feld zu treffen.

Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes oder blaues Feld zu treffen, beträgt:

P(rot oder blau) = (3 + 2) / 8 = 5/8 = 0,625 = 62,5%

Die Wahrscheinlichkeit, weder ein rotes noch ein blaues Feld zu treffen, beträgt:

P(weder rot noch blau) = 1 - P(rot oder blau) = 1 - 5/8 = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Lösungsstrategie über das Gegenereignis

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Rot oder Blau" über das Gegenereignis "kein einziges Mal Rot oder Blau":

P(mindestens einmal rot oder blau) = 1 - P(kein einziges Mal rot oder blau)

Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Versuchen kein einziges Mal Rot oder Blau zu treffen, ist:

P(kein einziges Mal rot oder blau) = P(weder rot noch blau) · P(weder rot noch blau)

P(kein einziges Mal rot oder blau) = 0,375 · 0,375 = 0,140625 ≈ 14,06%

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Jetzt können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

P(mindestens einmal rot oder blau) = 1 - P(kein einziges Mal rot oder blau)

P(mindestens einmal rot oder blau) = 1 - 0,140625 = 0,859375 ≈ 85,94%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Versuchen mindestens einmal Rot oder Blau zu treffen, beträgt etwa 85,94%.

Das ist eine ziemlich hohe Wahrscheinlichkeit, was sinnvoll ist, da 5 von 8 Feldern entweder rot oder blau sind.

Lösung: Würfelspiel

Analyse der Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe haben wir folgende Informationen:

Wir würfeln mit zwei Würfeln
Wir gewinnen, wenn die Summe der Augenzahlen größer als 9 ist
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Gewinn

Anzahl der möglichen Ergebnisse

Bei zwei Würfeln gibt es insgesamt 6 · 6 = 36 mögliche Kombinationen.

Diese sind alle gleich wahrscheinlich, wenn wir mit fairen Würfeln spielen.

Zählen der günstigen Ergebnisse

Wir suchen alle Kombinationen, bei denen die Summe größer als 9 ist. Das sind:

Würfel 1	Würfel 2	Summe
4	6	10
5	5	10
5	6	11
6	4	10
6	5	11
6	6	12

Wir haben 6 günstige Ergebnisse gezählt.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen berechnen wir mit der Formel:

P(Gewinn) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse

P(Gewinn) = 6 / 36 = 1/6 ≈ 0,167 = 16,7%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln eine Summe größer als 9 zu erhalten, beträgt 1/6 oder etwa 16,7%.

Tipp

Bei Aufgaben mit Würfeln ist es oft hilfreich, eine Tabelle zu erstellen und systematisch alle möglichen Ergebnisse aufzulisten. So kann man die günstigen Ergebnisse leicht zählen.

Textaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeiten im Alltag berechnen

Regenwetter

Kleiderschrank

Münzspiel

Fahrrad-Pannen

Glücksrad

Würfelspiel

Textaufgabe: Regenwetter

Aufgabenstellung

Lösung: Regenwetter

Analyse der Aufgabenstellung

Berechnung mit Baumdiagramm

Anwendung der 1. Pfadregel

Lösung

Praxistipp

Textaufgabe: Kleiderschrank

Aufgabenstellung

Lösung: Kleiderschrank

Analyse der Aufgabenstellung

Lösungsstrategie

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "kein rotes T-Shirt"

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Lösung

Textaufgabe: Münzspiel

Aufgabenstellung

Lösung: Münzspiel

Analyse der Aufgabenstellung

Bestimmen aller möglichen Ergebnisse

Identifizieren der günstigen Ergebnisse

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Lösung

Tipp

Textaufgabe: Fahrrad-Pannen

Aufgabenstellung

Lösung: Fahrrad-Pannen

Analyse der Aufgabenstellung

Anwendung der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)

Lösung

Tipp für den Alltag

Textaufgabe: Glücksrad

Aufgabenstellung

Lösung: Glücksrad

Analyse der Aufgabenstellung

Lösungsstrategie über das Gegenereignis

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Lösung

Textaufgabe: Würfelspiel

Aufgabenstellung

Lösung: Würfelspiel

Analyse der Aufgabenstellung

Anzahl der möglichen Ergebnisse

Zählen der günstigen Ergebnisse

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Lösung

Tipp