x+y=10

2x-y=5

x=5, y=5

Lösungsverfahren für Gleichungssysteme

Entdecke die verschiedenen Methoden, um lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen. Jedes Verfahren hat seine Vor- und Nachteile und eignet sich für unterschiedliche Situationen.

Übersicht der Lösungsverfahren

In der Mathematik gibt es verschiedene Verfahren, um Gleichungssysteme zu lösen. Hier lernst du die vier wichtigsten Methoden kennen und verstehst, wann du welche Methode am besten einsetzt.

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Variable aus einer Gleichung isoliert und in die andere Gleichung eingesetzt.

So funktioniert's:

Schritt 1: Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.

x + y = 8
2x - y = 4

Aus der ersten Gleichung: x = 8 - y

Schritt 2: Setze diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein.

Beispiel: 2x - y = 4 → 2(8 - y) - y = 4

Schritt 3: Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Variablen.

16 - 2y - y = 4 → 16 - 3y = 4 → -3y = -12 → y = 4

Schritt 4: Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die andere Variable zu bestimmen.

x = 8 - y = 8 - 4 = 4

Vorteile

Besonders effizient, wenn eine Variable leicht zu isolieren ist
Gut geeignet für Gleichungen mit Koeffizienten 1 oder -1
Systematisches Vorgehen mit klaren Schritten

Nachteile

Kann zu komplizierten Ausdrücken führen, wenn die Koeffizienten ungünstig sind
Brüche können die Rechnung erschweren
Rechenaufwand bei komplexeren Gleichungen

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und dann gleichgesetzt.

So funktioniert's:

Schritt 1: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf.

x + y = 8
2x - y = 4

Aus der ersten Gleichung: y = 8 - x

Aus der zweiten Gleichung: y = 2x - 4

Schritt 2: Setze diese beiden Ausdrücke gleich.

8 - x = 2x - 4

Schritt 3: Löse die entstehende Gleichung nach der verbliebenen Variablen auf.

8 - x = 2x - 4 → 8 + 4 = 2x + x → 12 = 3x → x = 4

Schritt 4: Setze den gefundenen Wert in eine der Gleichungen ein, um die andere Variable zu bestimmen.

y = 8 - x = 8 - 4 = 4

Vorteile

Gut geeignet, wenn beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen umgestellt werden können
Oft weniger rechenintensiv als das Einsetzungsverfahren
Logisches und systematisches Vorgehen

Nachteile

Kann kompliziert werden, wenn das Umstellen nach einer Variablen schwierig ist
Möglicherweise mehr Zwischenschritte erforderlich
Bei komplizierten Koeffizienten ungeeignet

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) werden die Gleichungen so umgeformt, dass sich beim Addieren eine Variable heraushebt.

So funktioniert's:

Schritt 1: Forme die Gleichungen so um, dass die Koeffizienten einer Variablen entgegengesetzt gleich sind.

x + y = 8
2x - y = 4

Schritt 2: Addiere die beiden Gleichungen, sodass sich eine Variable weghebt.

x + y = 8

2x - y = 4

3x = 12 (durch Addition)

Schritt 3: Löse die entstehende Gleichung nach der verbliebenen Variablen auf.

3x = 12 → x = 4

Schritt 4: Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die andere Variable zu bestimmen.

x + y = 8 → 4 + y = 8 → y = 4

Vorteile

Besonders effizient, wenn Koeffizienten günstig sind oder leicht angepasst werden können
Sehr systematisch und in der Praxis oft am schnellsten
Vermeidet komplizierte Bruchterme

Nachteile

Erfordert manchmal Multiplikation mit größeren Zahlen
Bei ungünstigen Koeffizienten kann es zu großen Zahlen kommen
Bei bestimmten Gleichungstypen weniger praktisch

Grafische Lösung

Bei der grafischen Lösung werden die Gleichungen als Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Schnittpunkt ist die Lösung des Gleichungssystems.

So funktioniert's:

Schritt 1: Stelle beide Gleichungen in der Form y = mx + b dar (Geradengleichung).

x + y = 8
2x - y = 4

Aus der ersten Gleichung: y = -x + 8

Aus der zweiten Gleichung: y = 2x - 4

Schritt 2: Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem.

Trage dazu für jede Gerade einige Wertepaare (x, y) ein und verbinde die Punkte.

Schritt 3: Finde den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (x, y), welche die Lösung des Gleichungssystems darstellen.

Vorteile

Bietet eine visuelle Darstellung, die das Verständnis fördert
Zeigt sofort, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, keine Lösung hat oder unendlich viele Lösungen besitzt
Gut für das konzeptionelle Verständnis

Nachteile

Nur Näherungslösungen bei komplexen Zahlen oder Brüchen möglich
Zeitaufwändig und erfordert Zeichenmaterial
Genauigkeit hängt vom Zeichnen ab

Verfahren	Wann am besten geeignet?	Schwierigkeitsgrad	Besonderheiten
Einsetzungsverfahren	Wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder wenn eine Variable den Koeffizienten 1 hat	Mittel	Gute Methode für den Einstieg, systematisch und nachvollziehbar
Gleichsetzungsverfahren	Wenn beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen umgestellt werden können	Mittel	Häufig eleganter als das Einsetzungsverfahren, wenn die Koeffizienten günstig sind
Additionsverfahren	Wenn die Koeffizienten einer Variablen entgegengesetzt oder leicht anzupassen sind	Einfach bis mittel	Oft die schnellste Methode und vermeidet komplizierte Bruchterme
Grafische Lösung	Für das Verständnis der Zusammenhänge und zur Visualisierung	Einfach, aber zeitaufwändig	Veranschaulicht die geometrische Bedeutung von Gleichungssystemen