Die Strahlensätze
Zwei Strahlen vom Scheitelpunkt \(S\) werden von zwei Parallelen geschnitten – und die entstehenden Abschnitte sind immer proportional.
Die Grundsituation
Zwei Strahlen gehen vom gemeinsamen Scheitelpunkt S aus. Zwei parallele Geraden schneiden beide Strahlen. Die Schnittpunkte heißen:
- B und C – Schnittpunkte mit der ersten (inneren) Parallele
- B' und C' – Schnittpunkte mit der zweiten (äußeren) Parallele
Interaktives Applet
Erkunde die Strahlensätze interaktiv. Die Schnittpunkte heißen B, C (innere Parallele) und B', C' (äußere Parallele).
- Bewege den Schieberegler \(k\), um die zweite Parallele zu verschieben.
- B und C sind Zugpunkte – ziehe sie, um die Strahlen zu verändern.
- Bei \(k > 0\): \(B'\) und \(C'\) auf derselben Seite von \(S\) → V-Figur.
- Bei \(k < 0\): \(B'\) und \(C'\) auf der Gegenseite → X-Figur.
1. Strahlensatz
\[\frac{SB}{SB'} = \frac{SC}{SC'}\]Entsprechende Abschnitte auf den Strahlen sind proportional.
2. Strahlensatz
\[\frac{BC}{B'C'} = \frac{SB}{SB'}\]Parallelenabschnitte und Strahlenabschnitte sind proportional.
1. Strahlensatz
Die Abstände vom Scheitelpunkt S zu den Schnittpunkten auf beiden Strahlen sind proportional. Das Verhältnis \(SB : SB'\) ist auf beiden Strahlen gleich.
Beide Schnittpunkte liegen auf derselben Seite von \(S\). Die drei Bilder zeigen verschiedene Stellungen der Parallelen – das Verhältnis bleibt stets gleich.
Der Scheitelpunkt \(S\) liegt zwischen den beiden Parallelen. \(B'\) und \(C'\) befinden sich auf der gegenüberliegenden Seite.
Merkregel: oben – unten – ganz
Stell dir die V-Figur als Dreieck vor. Auf jedem Strahl gibt es drei unterscheidbare Abschnitte:
Strecke zwischen den Parallelen (z. B. \(BB'\))
Strecke vom Scheitelpunkt \(S\) zur inneren Parallele (z. B. \(SB\))
Strecke von \(S\) zur äußeren Parallele (z. B. \(SB'\))
Auf beiden Strahlen ist dasselbe Verhältnis stets gleich – in drei gleichwertigen Varianten:
Variante 1
\[\frac{\text{oben}}{\text{ganz}} = \frac{\text{oben}}{\text{ganz}}\]\(\dfrac{BB'}{SB'} = \dfrac{CC'}{SC'}\)
Variante 2
\[\frac{\text{unten}}{\text{ganz}} = \frac{\text{unten}}{\text{ganz}}\]\(\dfrac{SB}{SB'} = \dfrac{SC}{SC'}\)
Variante 3
\[\frac{\text{oben}}{\text{unten}} = \frac{\text{oben}}{\text{unten}}\]\(\dfrac{BB'}{SB} = \dfrac{CC'}{SC}\)
X-Figur (\(k < 0\))
Dieselbe Merkregel gilt auch für die X-Figur. Stell dir vor, das kleinere Dreieck sei in das größere hineingespiegelt worden – dann lassen sich „oben", „unten" und „ganz" genauso ablesen wie in der V-Figur.
2. Strahlensatz
Nicht nur die Strahlenabschnitte, sondern auch die Abschnitte der Parallelen selbst sind proportional: Der Abschnitt \(BC\) auf der inneren Parallele verhält sich zu \(B'C'\) auf der äußeren Parallele wie die Strahlenabschnitte.
Die farbigen Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich genauso wie die Abschnitte auf den Strahlen.
Auch in der X-Figur sind die Parallelabschnitte proportional zu den Strahlenabschnitten.
Merkregel: Parallele oben – Parallele unten
Stell dir die V-Figur als Dreieck vor. Die äußere Parallele liegt weiter oben als die innere – und dieses Verhältnis ist dasselbe wie das der Strahlenabschnitte:
Abschnitt der äußeren Parallele \(B'C'\)
Abschnitt der inneren Parallele \(BC\)
Die Merkregel in zwei gleichwertigen Varianten:
Variante 1
\[\frac{\text{Parallele oben}}{\text{Parallele unten}} = \frac{\text{ganz}}{\text{unten}}\]\(\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{SB'}{SB}\)
Variante 2 (umgekehrt)
\[\frac{\text{Parallele unten}}{\text{Parallele oben}} = \frac{\text{unten}}{\text{ganz}}\]\(\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{SB}{SB'}\)
X-Figur (\(k < 0\))
Dieselbe Merkregel gilt auch für die X-Figur. Stell dir vor, das kleinere Dreieck sei in das größere hineingespiegelt worden – dann lassen sich „Parallele oben", „Parallele unten", „ganz" und „unten" genauso ablesen wie in der V-Figur.
Merke: Strahlensätze
Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Scheitelpunkt \(S\) von zwei parallelen Geraden geschnitten, gilt:
- 1. Strahlensatz: Entsprechende Abschnitte auf den Strahlen sind proportional: \(\dfrac{SB}{SB'} = \dfrac{SC}{SC'}\)
- 2. Strahlensatz: Parallelenabschnitte und Strahlenabschnitte sind proportional: \(\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{SB}{SB'}\)
- Beide Sätze gelten sowohl für die V-Figur (\(k > 0\)) als auch für die X-Figur (\(k < 0\)).
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