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\(k \cdot \overrightarrow{ZP}\)
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Grundlagen der Strahlensätze

Ähnliche Dreiecke und zentrische Streckung – die zwei Ideen, auf denen die Strahlensätze beruhen.

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1. Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn alle drei Winkel übereinstimmen. Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größen.

Eine wichtige Folge: Die Seiten sind proportional. Wenn das zweite Dreieck den Streckfaktor \(k\) hat, gilt:

\[\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k\]

So benutzt du das Applet

  • Bewege den Schieberegler \(k\), um das zweite Dreieck zu vergrößern oder zu verkleinern.
  • B und C sind Zugpunkte – ziehe sie, um die Form des ersten Dreiecks zu verändern. Das zweite Dreieck passt sich automatisch an.
  • Mit den Kontrollkästchen rechts kannst du Streckenlängen, Winkel und den Ähnlichkeitsfaktor ein- und ausblenden.
  • Beachte: Egal wie groß \(k\) ist und wie du \(B\) und \(C\) verschiebst – die Winkel beider Dreiecke bleiben stets gleich.

Merke

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen drei Winkeln übereinstimmen (WWW-Satz).

Bei ähnlichen Dreiecken mit Streckfaktor \(k\) gilt: Alle Seiten werden mit \(k\) multipliziert, alle Winkel bleiben gleich.

2. Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung mit Zentrum \(Z\) und Faktor \(k\) bildet jeden Punkt \(P\) auf einen Bildpunkt \(P'\) ab, sodass:

  • \(Z\), \(P\) und \(P'\) liegen auf einer gemeinsamen Geraden (dem Strahl).
\[\overrightarrow{ZP'} = k \cdot \overrightarrow{ZP}\]

Was bedeutet der Streckfaktor \(k\)?

\(k > 1\)

Bild liegt auf derselben Seite, ist weiter von \(Z\) entfernt.

\(0 < k < 1\)

Bild liegt auf derselben Seite, ist näher an \(Z\).

\(k < 0\)

Bild liegt auf der gegenüberliegenden Seite von \(Z\) → X-Figur!

So benutzt du das Applet

  • Bewege den Schieberegler \(k\) von positiven zu negativen Werten.
  • Bei \(k > 0\): Bild und Original auf derselben Seite von \(Z\) → V-Figur.
  • Bei \(k < 0\): Bild auf der Gegenseite → X-Figur.
  • Ziehe die Eckpunkte \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) des Vierecks, um die Konstruktion zu verändern.
  • Die gestrichelten Linien sind die Strahlen durch \(Z\). Beachte: Die Seiten des Bilddreieks verlaufen stets parallel zu den entsprechenden Seiten des Originals.

Überleitung zu den Strahlensätzen

Bei der zentrischen Streckung entstehen Strahlen durch \(Z\) und parallele Geraden.

Was passiert, wenn wir nur diese Strahlen und parallelen Geraden betrachten? → Das ist genau die Situation der Strahlensätze.

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