Vom Pfeil zur Zahl
Ein Zug im Rennen – und das Zahlenpaar, das ihn vollständig beschreibt
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: „so viele Schritte in x-Richtung und so viele Schritte in y-Richtung“. Wo die Verschiebung beginnt, spielt keine Rolle. Deshalb stellen alle Pfeile mit gleicher Länge, gleicher Richtung und gleicher Orientierung denselben Vektor dar.
Ein Pfeil im Rennen sagt: „so viele Kästchen nach rechts und so viele nach oben“. Genau diese beiden Zahlen beschreiben den Zug vollständig – ganz gleich, an welcher Stelle der Bahn er gefahren wird.
Alle abgebildeten Pfeile stellen denselben Vektor dar.
Schreibweise
\[ \vec v = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]Oben: Schritte in x-Richtung (nach rechts)
Unten: Schritte in y-Richtung (nach oben)
Minuszeichen = nach links bzw. nach unten
Die drei Merkmale eines Vektors
1 · Länge
Wie weit wird verschoben? Man nennt sie den Betrag des Vektors.
2 · Richtung
Die Neigung des Pfeils – im Zweidimensionalen entspricht sie der Steigung einer Geraden.
3 · Orientierung
Wohin zeigt die Pfeilspitze? Zwei Pfeile auf derselben Geraden können entgegengesetzt orientiert sein.
Merke
Ein Vektor ist nicht ein einzelner Pfeil, sondern die gesamte Gruppe aller Pfeile, die dieselbe Verschiebung beschreiben (mathematisch: eine Äquivalenzklasse). Erst wenn ein Anfangspunkt festgelegt wird – zum Beispiel beim Ortsvektor der Ursprung –, ist genau ein Pfeil gemeint.
Im Raum: In der Schule betrachten wir zwei- und dreidimensionale Räume. Im Dreidimensionalen kommt eine dritte Zahl hinzu: die Schritte in z-Richtung. Alles andere bleibt gleich.
Aufgabe 1 – Ihre Züge als Zahlenpaare
Ein Auto hat die folgenden vier Züge gefahren. Bilden Sie die Summen der beiden Zeilen. (Sie können stattdessen auch die ersten vier Züge aus Ihrem eigenen Protokoll im Autorennen verwenden.)
| Zug | 1 | 2 | 3 | 4 | Summe |
|---|---|---|---|---|---|
| … nach rechts | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| … nach oben | 1 | 2 | 1 | 0 |
Was bedeutet die letzte Spalte anschaulich? Wo befindet sich Ihr Auto nach den vier Zügen?
Aufgabe 2 – Derselbe Zug an einer anderen Stelle
Zwei Autos fahren in unterschiedlichen Ecken der Bahn genau denselben Zug: 3 nach rechts, 1 nach oben.
a) Was ist bei den beiden Pfeilen gleich, was ist verschieden?
b) Begründen Sie: Für die Beschreibung eines Zuges ist es unerheblich, wo der Pfeil beginnt.
Aufgabe 3 – Zwei Züge nacheinander
a) Links fährt ein Auto Zug 1 (3 nach rechts, 1 nach oben) und danach Zug 2 (1 nach rechts, 3 nach oben). Der gestrichelte Pfeil zeigt, wo es insgesamt gelandet ist. Geben Sie seine beiden Zahlen an.
b) Formulieren Sie eine allgemeine Regel für die Addition zweier Vektoren.
Aufgabe 4 – Woher kommt der Orientierungspunkt?
Ein Auto kommt mit dem Zug „3 nach rechts, 1 nach oben“ an. Der Orientierungspunkt entsteht, indem derselbe Pfeil noch einmal angehängt wird.
a) Wie viele Kästchen liegt der Orientierungspunkt vom Ausgangspunkt entfernt?
b) Was bedeutet \(3 \cdot \vec v\) anschaulich? Und was würde \(-1 \cdot \vec v\) für das Auto bedeuten? Probieren Sie die Schaltflächen unter der Abbildung aus.
Zusatzaufgabe
Ein Auto fährt die Züge \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Ein zweites Auto möchte denselben Endpunkt mit nur zwei gleichen Zügen erreichen. Untersuchen Sie, ob das nach den Spielregeln möglich ist.
Und jetzt mit Koordinaten
Bisher ging es nur um Verschiebungen. Legt man ein Koordinatensystem über die Rennbahn, kann man auch Punkte durch Vektoren beschreiben – und den Pfeil von einem Punkt zu einem anderen berechnen.