\(\frac{f(x)}{g(x)}\)
Polstelle
x = a

Gebrochenrationale Funktionen

Verstehe Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten mit interaktiven Visualisierungen

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Was sind gebrochenrationale Funktionen?

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynome dargestellt wird:

\[ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_n \cdot x^n + \ldots + a_1 \cdot x + a_0}{b_m \cdot x^m + \ldots + b_1 \cdot x + b_0} \]

Dabei sind \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynome. Der Zähler \(p(x)\) und der Nenner \(q(x)\) dürfen keine gemeinsamen Nullstellen haben (nicht kürzbar sein).

Wichtige Eigenschaften

  • Definiert für alle \(x\), für die \(q(x) \neq 0\)
  • Kann Definitionslücken haben (Nenner = 0)
  • Kann Asymptoten haben (senkrecht oder waagerecht)
  • Verhalten an Definitionslücken ist wichtig!

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist:

\[ D = \mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid q(x) = 0\} \]

Das bedeutet: Alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners!

Aufbau und Vorgehen

Schritt-für-Schritt-Analyse

1. Definitionsbereich bestimmen

Setze den Nenner gleich Null:

\(q(x) = 0\) lösen → Definitionslücken

2. Faktorisierung

Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren:

\(f(x) = \frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}\)

3. Kürzen (wenn möglich)

Gemeinsame Faktoren kürzen:

→ Hebbare Definitionslücke

4. Polstellen untersuchen

Nicht kürzbare Nullstellen im Nenner:

→ Polstelle (mit/ohne VZW)

Wichtig: Eine "echte" gebrochenrationale Funktion hat Zähler und Nenner ohne gemeinsame Nullstellen (nicht kürzbar). Nach dem Kürzen erhältst du die gekürzte Form!

Definitionslücken: Hebbare Lücke vs. Polstelle

Wenn der Nenner an einer Stelle \(x = a\) null wird, entsteht eine Definitionslücke. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken:

Eigenschaft Hebbare Definitionslücke Polstelle
Definition Faktor \((x-a)\) im Zähler und Nenner → kürzbar Faktor \((x-a)\) nur im Nenner → nicht kürzbar
Grenzwert \(\lim_{x \to a} f(x)\) existiert und ist endlich \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
Graph "Loch" im Graphen, kann geschlossen werden Graph nähert sich einer senkrechten Asymptote
Beispiel \(f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+3)}\) bei \(x=2\) \(f(x) = \frac{x+1}{(x-2)(x+3)}\) bei \(x=2\)

Interaktive Visualisierung

Wähle ein Beispiel, um den Unterschied zu sehen:

Funktion:
Typ:

Polstellen: Mit oder ohne Vorzeichenwechsel?

Der Grad der Nullstelle im Nenner entscheidet, ob eine Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat:

Mit Vorzeichenwechsel

Bedingung: Nullstelle im Nenner hat ungeraden Grad

\[ f(x) = \frac{p(x)}{(x-a)^{2k+1} \cdot q(x)} \]

mit \(k \in \mathbb{N}_0\)

Beispiel:

\(f(x) = \frac{1}{x-2}\) oder \(f(x) = \frac{1}{(x-2)^3}\)

Verhalten: Von links \(-\infty\), von rechts \(+\infty\) (oder umgekehrt)

Ohne Vorzeichenwechsel

Bedingung: Nullstelle im Nenner hat geraden Grad

\[ f(x) = \frac{p(x)}{(x-a)^{2k} \cdot q(x)} \]

mit \(k \in \mathbb{N}\)

Beispiel:

\(f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) oder \(f(x) = \frac{1}{(x-2)^4}\)

Verhalten: Von beiden Seiten \(+\infty\) (oder beide \(-\infty\))

Merksatz:
  • Ungerader Grad (1, 3, 5, ...) → Vorzeichen wechselt (VZW)
  • Gerader Grad (2, 4, 6, ...) → Vorzeichen bleibt gleich (kein VZW)

Links- und rechtsseitiger Grenzwert

Um das Verhalten an einer Polstelle genau zu verstehen, berechnen wir den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Notation

Linksseitiger Grenzwert:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{oder} \quad \lim_{x \nearrow a} f(x) \]

(Von links, also \(x < a\))

Rechtsseitiger Grenzwert:

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) \quad \text{oder} \quad \lim_{x \searrow a} f(x) \]

(Von rechts, also \(x > a\))

Händische Berechnung

Beispiel: \(f(x) = \frac{x-2}{x-3}\) an der Stelle \(x = 3\)

Schritt 1: Faktorisiere die Funktion (bereits getan)

Schritt 2: Linksseitiger Grenzwert (\(x \to 3^-\), also \(x < 3\))

Setze \(x\) etwas kleiner als 3, z.B. \(x = 3 - \epsilon\) mit \(\epsilon > 0\) sehr klein:

\[ \begin{align} \text{Zähler: } & x - 2 = (3 - \epsilon) - 2 = 1 - \epsilon > 0 \\ \text{Nenner: } & x - 3 = (3 - \epsilon) - 3 = -\epsilon < 0 \\ \\ \lim_{x \to 3^-} f(x) &= \frac{\text{positive Zahl}}{\text{negative Zahl}} = -\infty \end{align} \]

Schritt 3: Rechtsseitiger Grenzwert (\(x \to 3^+\), also \(x > 3\))

Setze \(x\) etwas größer als 3, z.B. \(x = 3 + \epsilon\) mit \(\epsilon > 0\) sehr klein:

\[ \begin{align} \text{Zähler: } & x - 2 = (3 + \epsilon) - 2 = 1 + \epsilon > 0 \\ \text{Nenner: } & x - 3 = (3 + \epsilon) - 3 = +\epsilon > 0 \\ \\ \lim_{x \to 3^+} f(x) &= \frac{\text{positive Zahl}}{\text{positive Zahl}} = +\infty \end{align} \]
Ergebnis: Die Grenzwerte haben unterschiedliche Vorzeichen → Polstelle mit VZW

Mit GeoGebra berechnen

GeoGebra bietet spezielle Befehle für Grenzwerte:

LinksseitigerGrenzwert(<Funktion>, <Wert>)

Beispiel: LinksseitigerGrenzwert((x-2)/(x-3), 3)

RechtsseitigerGrenzwert(<Funktion>, <Wert>)

Beispiel: RechtsseitigerGrenzwert((x-2)/(x-3), 3)

Tipp: GeoGebra gibt bei \(\pm\infty\) die Richtung an. Du kannst auch beide Grenzwerte gleichzeitig mit Grenzwert(<Funktion>, <Wert>) berechnen (wenn sie übereinstimmen).

Asymptoten berechnen: Polynomdivision

Das Globalverhalten (Verhalten für \(x \to \pm\infty\)) wird durch Asymptoten beschrieben. Die Art der Asymptote hängt vom Verhältnis der Grade von Zähler und Nenner ab.

Welche Asymptote gibt es?

Bedingung Art der Asymptote Beispiel
Zählergrad < Nennergrad Waagerechte Asymptote \(y = 0\) (x-Achse) \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
Zählergrad = Nennergrad Waagerechte Asymptote \(y = \frac{a_n}{b_n}\)
(Verhältnis der Leitkoeffizienten)		 \(f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}\) → \(y = 2\)
Zählergrad = Nennergrad + 1 Schräge Asymptote \(y = mx + b\)
(Polynomdivision nötig!)		 \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)
Zählergrad > Nennergrad + 1 Keine waagerechte/schräge Asymptote
(Parabel, Kubik, etc.)		 \(f(x) = \frac{x^3}{x}\)
Merksatz: Wenn der Zählergrad um genau 1 größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Diese findest du mit Polynomdivision!

Polynomdivision:

Beispiel 1: Waagerechte Asymptote (keine x-Achse)

\(f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x^2 - 1}\)

Zählergrad = Nennergrad → waagerechte Asymptote

Automatische Berechnung mit Polynomdivision Rechner
Ergebnis:
\[f(x) = 2 + \frac{3x - 3}{x^2 - 1}\]

Asymptote: \(y = 2\)

Beispiel 2: Schräge (lineare) Asymptote

\(g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 1}\)

Zählergrad = Nennergrad + 1 → schräge Asymptote

Automatische Berechnung mit Polynomdivision Rechner
Ergebnis:
\[g(x) = x - 1 + \frac{-3}{x + 1}\]

Asymptote: \(y = x - 1\)

Beispiel 3: Parabolische Asymptote

\(h(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + x - 4}{x + 1}\)

Zählergrad = Nennergrad + 2 → parabolische Asymptote

Automatische Berechnung mit Polynomdivision Rechner
Ergebnis:
\[h(x) = x^2 + x + \frac{-4}{x + 1}\]

Asymptote: \(y = x^2 + x\)

Mit GeoGebra: Division-Befehl

GeoGebra kann Polynomdivision automatisch durchführen:

Division(<Zähler>, <Nenner>)

Beispiele:

Beispiel 1:

Division(x^2 + 3x - 2, x - 1)

Ausgabe: \(\{x + 4, 2\}\)
→ Asymptote: \(y = x + 4\)

Beispiel 2:

Division(x^2 - 4, x + 1)

Ausgabe: \(\{x - 1, -3\}\)
→ Asymptote: \(y = x - 1\)

Tipp: Der erste Wert ist der Quotient (= Asymptote), der zweite Wert ist der Rest. Du kannst direkt Division(x^2 + 3x - 2, x - 1)[1] eingeben, um nur den Quotienten zu erhalten.

Zusammenfassung: Asymptoten finden

  1. Vergleiche Grade: Zählergrad und Nennergrad
  2. Gleicher Grad: Asymptote = Verhältnis der Leitkoeffizienten
  3. Zähler 1 Grad höher: Polynomdivision → schräge Asymptote
  4. In GeoGebra: Division(Zähler, Nenner) verwenden

Interaktives GeoGebra-Applet

Untersuche die Beispielfunktion: \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6}\)

Tipp zur Eingabe in GeoGebra: Es kann von Vorteil sein, Zähler und Nenner zunächst als separate Funktionen einzugeben:
  • o(x) = x^2 - 4 (für "oben" = Zähler)
  • u(x) = x^2 - x - 6 (für "unten" = Nenner)
  • f(x) = o(x) / u(x)

So kannst du Zähler und Nenner separat analysieren und deren Nullstellen einzeln betrachten.

Interaktion: Im GeoGebra-Applet kannst du:
  • Die Funktion und ihre Eigenschaften untersuchen
  • Nullstellen von Zähler und Nenner mit Nullstelle(o) und Nullstelle(u) berechnen
  • Grenzwerte mit LinksseitigerGrenzwert() und RechtsseitigerGrenzwert() berechnen
  • Die Asymptote mit Division() ermitteln
  • Definitionslücken und Polstellen visualisieren

Übungen

Untersuche die folgenden Funktionen auf Definitionslücken, Art und Verhalten:

Übung 1: \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5 \cdot x + 6}\)

Bestimme:

  1. Definitionsbereich
  2. Gekürzte Form
  3. Art der Definitionslücken

Übung 2: \(g(x) = \frac{x+1}{(x-1)^2}\)

Bestimme:

  1. Definitionsbereich
  2. Art der Definitionslücke
  3. Links- und rechtsseitiger Grenzwert bei \(x=1\)

Übung 3: \(h(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)

Untersuche vollständig:

  1. Definitionsbereich
  2. Faktorisierung und Kürzen
  3. Alle Definitionslücken klassifizieren

Übung 4: \(k(x) = \frac{2x}{(x-3)^3}\)

Bestimme:

  1. Art der Polstelle bei \(x=3\)
  2. Grenzwerte (händisch begründen)
  3. Senkrechte Asymptote

Hebbare Lücke

  • Faktor kürzbar
  • Grenzwert endlich
  • "Loch" im Graph
  • Keine Asymptote

Polstelle mit VZW

  • Ungerader Grad
  • Vorzeichenwechsel
  • \(-\infty\) und \(+\infty\)
  • Senkrechte Asymptote

Polstelle ohne VZW

  • Gerader Grad
  • Kein Vorzeichenwechsel
  • Beide \(+\infty\) oder beide \(-\infty\)
  • Senkrechte Asymptote