\(e^x\)

\(f(x) = e^x\)

\(e \approx 2{,}718\)

Exponentialfunktionen

Vollständige Kurvendiskussion von e-Funktionen mit Polynomen

Was sind Exponentialfunktionen?

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable im Exponenten steht. Die allgemeine Form lautet:

\[ f(x) = a \cdot b^x \quad \text{mit } a, b \in \mathbb{R}, \, b > 0, \, b \neq 1 \]

Dabei ist:

\(a\): Streckfaktor (bestimmt den y-Achsenabschnitt)
\(b\): Basis der Exponentialfunktion
\(x\): Variable im Exponenten

Exponentielles Wachstum

Wenn \(b > 1\), wächst die Funktion exponentiell:

\(f(x) = 2^x\) (verdoppelt sich)
\(f(x) = e^x\) (natürliches Wachstum)
\(f(x) = 10^x\) (verzehnfacht sich)

Exponentieller Zerfall

Wenn \(0 < b < 1\), fällt die Funktion exponentiell:

\(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}\) (halbiert sich)
\(f(x) = e^{-x}\) (natürlicher Zerfall)
\(f(x) = 0{,}5^x\) (nimmt ab)

Besonderheiten der e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) mit der Eulerschen Zahl \(e \approx 2{,}71828\) ist die wichtigste Exponentialfunktion in der Mathematik.

\[ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828182845... \]

Warum ist die e-Funktion so besonders?

Eigenschaft 1: Selbstableitung

Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung:

\[ f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \]

Das bedeutet: Die Steigung der e-Funktion an jeder Stelle ist gleich ihrem Funktionswert!

Eigenschaft 2: Keine Nullstellen

Die e-Funktion hat keine Nullstellen:

\[ e^x > 0 \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R} \]

Sie nähert sich für \(x \to -\infty\) der x-Achse an (horizontale Asymptote bei \(y = 0\)).

Eigenschaft 3: Keine Extrema

Die reine e-Funktion hat keine Extremstellen:

\[ f'(x) = e^x \neq 0 \quad \text{für alle } x \]

Sie ist streng monoton steigend. Extrema entstehen erst durch Multiplikation mit Polynomen!

Eigenschaft 4: Rechenregeln

Die e-Funktion folgt den Potenzgesetzen:

\(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\)
\(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\)
\((e^a)^b = e^{a \cdot b}\)
\(e^0 = 1\) und \(e^1 = e\)

e-Funktionen multipliziert mit Polynomen

Durch Multiplikation der e-Funktion mit Polynomen entstehen interessante Funktionen mit Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten. Hier sind einige Beispiele:

Tipp: Klicke auf die Legende, um einzelne Funktionen ein- oder auszublenden!

\(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\)

Nullstelle: \(x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\) (doppelt)
Verhalten: Für \(x \to -\infty\): \(f(x) \to \infty\), für \(x \to \infty\): \(f(x) \to 0\)
Besonderheit: Doppelte Nullstelle (Berührpunkt)

\(g(x) = x^4 \cdot e^{2x}\)

Nullstelle: \(x = 0\) (vierfach)
Verhalten: Für \(x \to -\infty\): \(g(x) \to 0\), für \(x \to \infty\): \(g(x) \to \infty\)
Besonderheit: Vierfache Nullstelle am Ursprung

\(h(x) = x^3 \cdot e^{-x}\)

Nullstelle: \(x = 0\) (dreifach)
Verhalten: Für \(x \to -\infty\): \(h(x) \to 0\), für \(x \to \infty\): \(h(x) \to 0\)
Besonderheit: Punkt-symmetrisch zum Ursprung

\(k(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{0{,}5x}\)

Nullstellen: \(x = -2\) und \(x = 2\)
Verhalten: Für \(x \to -\infty\): \(k(x) \to 0\), für \(x \to \infty\): \(k(x) \to \infty\)
Besonderheit: Achsensymmetrisches Polynom mit Exponentialfunktion

Vollständige Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion)

Eine vollständige Kurvendiskussion untersucht systematisch alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion. Bei Exponentialfunktionen folgen wir diesem Schema:

Beispielfunktion: Wir untersuchen \(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\)

Hinweis: Die folgende Kurvendiskussion ist als Musterbeispiel zu verstehen. Die genauen Rechnungen für diese spezielle Funktion findest du im GeoGebra-Applet weiter unten. Dort kannst du die notwendigen und hinreichenden Bedingungen nachvollziehen.

Zunächst verschaffen wir uns einen Überblick über den Funktionsverlauf:

Der Graph zeigt eine doppelte Nullstelle bei \(x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\), einen Hochpunkt bei \(x \approx 3{,}2\) und strebt für \(x \to \infty\) gegen 0, während er für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\) strebt.

Definitionsbereich:

Die Funktion \(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\) ist eine Exponentialfunktion multipliziert mit einem Polynom. Beide Bestandteile sind für alle reellen Zahlen definiert:

\[ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \]

Wertebereich:

Da \((x^3 - 2)^2 \geq 0\) (Quadrat ist immer nicht-negativ) und \(e^{-2x} > 0\) (Exponentialfunktion ist immer positiv), gilt:

\[ f(x) \geq 0 \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R} \]

Die Funktion nimmt den Wert 0 an der Nullstelle \(x = \sqrt[3]{2}\) an. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), daher ist der Wertebereich:

\[ \mathbb{W}_f = [0; \infty) \]

Die Funktion ist nach oben unbeschränkt, da sie für negative x-Werte beliebig groß wird.

Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse):

Ansatz: \(f(x) = 0\)

\[ \begin{align} (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x} &= 0 \\ \end{align} \]

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Da \(e^{-2x} > 0\) für alle \(x\), muss gelten:

\[ \begin{align} (x^3 - 2)^2 &= 0 \\ x^3 - 2 &= 0 \\ x^3 &= 2 \\ x &= \sqrt[3]{2} \end{align} \]

Nullstelle: \(x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\)

Diese ist eine doppelte Nullstelle (wegen des Quadrats \((x^3 - 2)^2\)), d.h. der Graph berührt die x-Achse, ohne sie zu durchstoßen.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Ansatz: \(f(0)\)

\[ \begin{align} f(0) &= (0^3 - 2)^2 \cdot e^{0} \\ &= (-2)^2 \cdot 1 \\ &= 4 \end{align} \]

Y-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid 4)\)

Verhalten für \(x \to \infty\):

Ansatz: \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)

Für große positive x-Werte dominiert die Exponentialfunktion \(e^{-2x}\) das Verhalten. Da \(e^{-2x} \to 0\) für \(x \to \infty\) schneller als jedes Polynom wächst:

\[ \lim_{x \to \infty} (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x} = 0 \]

Ergebnis: Der Graph nähert sich für \(x \to \infty\) der x-Achse an (horizontale Asymptote \(y = 0\)).

Verhalten für \(x \to -\infty\):

Ansatz: \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\)

Für große negative x-Werte gilt \(e^{-2x} = e^{2|x|} \to \infty\). Das Polynom \((x^3 - 2)^2\) wächst ebenfalls. Hier wächst der Exponentialterm schneller, aber in die andere Richtung:

\[ \lim_{x \to -\infty} (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x} = \infty \]

Ergebnis: Der Graph strebt für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\) (keine Asymptote links).

Zusammenfassung: Die Funktion hat eine horizontale Asymptote bei \(y = 0\) nur für \(x \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) strebt sie gegen \(\infty\).

Ansätze für Extremstellen:

Wichtig: Schreibe zuerst die Ansätze auf, bevor du GeoGebra verwendest!

Notwendige Bedingung:

\[ f'(x) = 0 \]

Hinreichende Bedingung (beinhaltet die notwendige!):

\[ f'(x_0) = 0 \text{ und } f''(x_0) \neq 0 \]

\(f''(x_0) > 0\): Tiefpunkt (Minimum)
\(f''(x_0) < 0\): Hochpunkt (Maximum)

Berechnung mit GeoGebra:

Die Ableitung von \(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\) ist sehr aufwendig. Verwende GeoGebra für die Berechnung:

In GeoGebra eingeben:

Erste Ableitung: f'(x) oder Ableitung(f(x))
Notwendige Bedingung: Löse(f'(x) = 0)
Zweite Ableitung: f''(x)
Hinreichende Bedingung: f''(x₀) für gefundene x-Werte berechnen

x-Wert	\(f''(x_0)\)	Art	\(f(x_0)\)
\(x \approx 1{,}26\) (\(\sqrt[3]{2}\))	\(f''(1{,}26) > 0\)	Tiefpunkt (Minimum)	0
\(x \approx 3{,}20\)	\(f''(3{,}20) < 0\)	Hochpunkt (Maximum)	≈ 0,52

Extrempunkte:
• Tiefpunkt: \(T(\sqrt[3]{2} \mid 0) \approx T(1{,}26 \mid 0)\)
• Hochpunkt: \(H(3{,}20 \mid 0{,}52)\)

Das Monotonieverhalten beschreibt, in welchen Bereichen die Funktion steigt oder fällt. Es wird durch das Vorzeichen der ersten Ableitung \(f'(x)\) bestimmt:

\(f'(x) > 0\): Funktion ist streng monoton steigend
\(f'(x) < 0\): Funktion ist streng monoton fallend

Aus der Extremstellen-Berechnung (GeoGebra) wissen wir, dass \(f'(x) = 0\) bei \(x \approx 1{,}26\) und \(x \approx 3{,}20\).

Intervall	Vorzeichen von \(f'(x)\)	Monotonie
\((-\infty; 1{,}26)\)	\(f'(x) < 0\)	streng monoton fallend ↓
\((1{,}26; 3{,}20)\)	\(f'(x) > 0\)	streng monoton steigend ↑
\((3{,}20; \infty)\)	\(f'(x) < 0\)	streng monoton fallend ↓

Wendepunkte sind Stellen, an denen die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert (von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung oder umgekehrt). Sie werden durch die zweite Ableitung bestimmt.

Ansätze für Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:

\[ f''(x) = 0 \]

Hinreichende Bedingung (beinhaltet die notwendige!):

\[ f''(x_0) = 0 \text{ und } f'''(x_0) \neq 0 \]

Hinweis: Die Berechnung der zweiten und dritten Ableitung ist sehr aufwendig. Verwende GeoGebra für die Berechnung!

Krümmungsverhalten:

Das Krümmungsverhalten wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''(x)\) bestimmt:

\(f''(x) > 0\): Funktion ist linksgekrümmt (konvex) ∪
\(f''(x) < 0\): Funktion ist rechtsgekrümmt (konkav) ∩

Berechnung mit GeoGebra:

In GeoGebra eingeben:

Zweite Ableitung: f''(x)
Notwendige Bedingung: Löse(f''(x) = 0)
Dritte Ableitung: f'''(x)
Hinreichende Bedingung: f'''(x₀) für gefundene x-Werte berechnen

Wendepunkte (aus GeoGebra):
• \(W_1(2 \mid f(2))\) mit \(f(2) \approx 0{,}33\)
• \(W_2 \approx (4{,}36 \mid 0{,}09)\)

Tipp: Im GeoGebra-Applet unten kannst du alle Wendepunkte automatisch berechnen lassen! Die Ergebnisse siehst du in der CAS-Ansicht.

Zusammenfassung der Kurvendiskussion

Funktion: \(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\)

Definitionsbereich: \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\)
Wertebereich: \(\mathbb{W}_f = [0; \infty)\) (da \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\))
Nullstelle: \(x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\) (doppelt)
Y-Achsenabschnitt: \(f(0) = 4\)
Asymptote: \(y = 0\) für \(x \to \infty\)
Extrempunkte: Minimum bei \(x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\), Maximum bei \(x \approx 3{,}20\)
Wendepunkte: Bei \(x = 2\) und \(x \approx 4{,}36\) (siehe GeoGebra)

GeoGebra: Exponentialfunktionen untersuchen

Mit diesem GeoGebra-Applet kannst du die Funktion \(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\) vollständig untersuchen.

Wichtig für die Klausur: Du musst die mathematischen Ansätze (ohne GeoGebra-Notation) kennen und notieren können! GeoGebra darf nur zum Berechnen verwendet werden, aber die Ansätze müssen klar aufgeschrieben sein.

Mathematische Ansätze (OHNE GeoGebra-Notation)

Diese Ansätze musst du vor der Verwendung von GeoGebra aufschreiben:

Aufgabe	Ansatz (mathematisch)	GeoGebra-Notation (zum Vergleich)
Nullstellen	\(f(x) = 0\)	`Löse(f(x) = 0)`
Y-Achsenabschnitt	\(f(0)\)	`f(0)`
Grenzwerte	\(\lim_{x \to \infty} f(x)\)	`Grenzwert(f(x), ∞)`
Extremstellen (Notwendige Bed.)	\(f'(x) = 0\)	`Löse(f'(x) = 0)`
Art der Extremstellen (Hinreichende Bed.)	\(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) \neq 0\) • \(f''(x_0) > 0\): Minimum • \(f''(x_0) < 0\): Maximum	`f''(x₀)` berechnen (Die hinreichende Bedingung beinhaltet die notwendige!)
Wendestellen (Notwendige Bed.)	\(f''(x) = 0\)	`Löse(f''(x) = 0)`
Nachweis Wendepunkt (Hinreichende Bed.)	\(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\)	`f'''(x₀)` berechnen (Die hinreichende Bedingung beinhaltet die notwendige!)
Funktionswerte	\(f(x_0)\)	`f(x₀)`

Merke: Die hinreichende Bedingung enthält immer die notwendige Bedingung! Schreibe beide Bedingungen auf (z.B. \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\) für ein Minimum).

Im GeoGebra-Applet:

Button "CAS-Befehle anzeigen": Zeigt die CAS-Ansicht mit allen Berechnungen
Button "Graphen anzeigen": Wechselt zurück zur Grafik-Ansicht
Funktion: \(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\) ist bereits geladen
Ableitungen: \(f'(x)\), \(f''(x)\), \(f'''(x)\) sind berechnet
Bedingungen: Notwendige und hinreichende Bedingungen sind überprüft

Hinweis: Scrolle in der CAS-Ansicht nach oben, um alle Berechnungen zu sehen!

Wichtige Formeln

Ableitung: \((e^x)' = e^x\)
Ableitung: \((e^{ax})' = a \cdot e^{ax}\)
Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)
Kettenregel: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Potenzgesetze: \(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\)

Schema der Kurvendiskussion

Graph zeichnen (Überblick verschaffen)
Definitions- und Wertebereich bestimmen
Nullstellen und Achsenabschnitte berechnen
Globalverlauf untersuchen (Asymptoten)
Extrempunkte mit 1. und 2. Ableitung
Monotonieverhalten angeben
Wendepunkte und Krümmung bestimmen

Exponentialfunktionen

Was sind Exponentialfunktionen?

Exponentielles Wachstum

Exponentieller Zerfall

Besonderheiten der e-Funktion

Warum ist die e-Funktion so besonders?

Eigenschaft 1: Selbstableitung

Eigenschaft 2: Keine Nullstellen

Eigenschaft 3: Keine Extrema

Eigenschaft 4: Rechenregeln

e-Funktionen multipliziert mit Polynomen

\(f(x) = (x^3 - 2)^2 \cdot e^{-2x}\)

\(g(x) = x^4 \cdot e^{2x}\)

\(h(x) = x^3 \cdot e^{-x}\)

\(k(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{0{,}5x}\)

Vollständige Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion)

(a) Verlauf des Graphen

(b) Definitions- und Wertebereich

Definitionsbereich:

Wertebereich:

(c) Nullstellen und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse):

Schnittpunkt mit der y-Achse:

(d) Globalverlauf (Verhalten für \(x \to \pm\infty\))

Verhalten für \(x \to \infty\):

Verhalten für \(x \to -\infty\):

(e) Extrempunkte

Ansätze für Extremstellen:

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bedingung (beinhaltet die notwendige!):

Berechnung mit GeoGebra:

(f) Monotonieverhalten

(g) Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Ansätze für Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bedingung (beinhaltet die notwendige!):

Krümmungsverhalten:

Berechnung mit GeoGebra:

Zusammenfassung der Kurvendiskussion

GeoGebra: Exponentialfunktionen untersuchen

Mathematische Ansätze (OHNE GeoGebra-Notation)

Wichtige Formeln

Schema der Kurvendiskussion