Exponentielles Wachstum & Zerfall
Modellierung realer Prozesse mit \(N(t) = N_0 \cdot e^{kt}\) – von Bakterienkulturen bis zum Medikamentenabbau
Das Wachstumsmodell
Viele natürliche Prozesse wachsen oder zerfallen proportional zu ihrem aktuellen Bestand. Ist der Bestand zu jedem Zeitpunkt proportional zu seiner eigenen Änderungsrate, gilt:
- \(N_0\): Anfangswert zum Zeitpunkt \(t = 0\)
- \(k\): Wachstums- bzw. Zerfallskonstante (in 1/Zeiteinheit)
- \(t\): Zeit
k > 0: exponentielles Wachstum
k < 0: exponentieller Zerfall
Wachstumskonstante bestimmen: Kennt man einen Wert \(N(t_1) = N_1\), so gilt: \(k = \dfrac{1}{t_1} \cdot \ln\!\left(\dfrac{N_1}{N_0}\right)\).
Beide Kenngrößen sind unabhängig vom Startwert \(N_0\) – \(N_0\) kürzt sich bei der Herleitung heraus.
Ansatz: \(N(T_V) = 2 \cdot N_0\)
\[ N_0 \cdot e^{k T_V} = 2 N_0 \]Die \(N_0\) kürzen:
\[ e^{k T_V} = 2 \]Logarithmieren:
\[ k T_V = \ln 2 \]Ansatz: \(N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}\)
\[ N_0 \cdot e^{k T_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \]Die \(N_0\) kürzen:
\[ e^{k T_{1/2}} = \frac{1}{2} \]Logarithmieren (\(\ln\frac{1}{2} = -\ln 2\)):
\[ k T_{1/2} = -\ln 2 \implies T_{1/2} = \frac{-\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{|k|} \]Merkregel: In beiden Formeln steht \(\ln 2 \approx 0{,}693\) im Zähler. Das Produkt \(T_V \cdot k = \ln 2\) bzw. \(T_{1/2} \cdot |k| = \ln 2\) gilt stets – unabhängig vom Startwert.
Bakterienwachstum (\(N_0 = 500,\; k = \ln 2 \approx 0{,}693\)) und Medikamentenabbau (\(D_0 = 200\,\text{mg},\; k = -0{,}1\)). Die gestrichelten Linien markieren \(T_V\) bzw. \(T_{1/2}\).
In einem Labor wird eine Bakterienkultur beobachtet. Zum Zeitpunkt \(t = 0\) (in Stunden) beträgt die Anzahl der Bakterien \(N_0 = 500\). Nach 3 Stunden wurden \(4000\) Bakterien gezählt.
a) Wachstumskonstante bestimmen
Stelle ein exponentielles Wachstumsmodell der Form \(N(t) = N_0 \cdot e^{kt}\) auf. Berechne die Wachstumskonstante \(k\) (auf vier Dezimalstellen gerundet).
b) Verdopplungszeit
Berechne die Verdopplungszeit \(T_V\) der Bakterienkultur und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
c) Verzehnfachung
Wann hat sich die Anfangsmenge zum ersten Mal verzehnfacht?
d) Momentane Wachstumsrate
Berechne \(N'(t)\) und interpretiere \(N'(3)\) im Sachzusammenhang.
e) Abbruchzeitpunkt
Ab \(N = 100\,000\) Bakterien muss das Experiment abgebrochen werden. Wann ist das?
Ein Medikament wird dem Körper zum Zeitpunkt \(t = 0\) in einer Dosis von \(D_0 = 200\,\text{mg}\) verabreicht. Der Wirkstoffgehalt im Blut nimmt gemäß
\[ D(t) = 200 \cdot e^{-0{,}1t} \]ab, wobei \(t\) in Stunden angegeben ist.
a) Wirkstoffgehalt nach 5 und 12 Stunden
Berechne den Wirkstoffgehalt nach \(5\) und nach \(12\) Stunden.
b) Halbwertszeit
Berechne die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) des Medikaments und erkläre ihre Bedeutung im medizinischen Kontext.
c) 10 % der ursprünglichen Dosis
Nach welcher Zeit ist nur noch \(10\,\%\) der ursprünglichen Dosis im Blut? Löse exakt und gerundet.
d) Abbaurate
Die Abbaurate beträgt \(|D'(t)|\). Berechne diese und vergleiche \(|D'(0)|\) mit \(|D'(10)|\) – was fällt auf?
e) Zweite Dosierung
Eine zweite Dosis darf erst verabreicht werden, wenn der Wirkstoffgehalt unter \(30\,\text{mg}\) gefallen ist. Berechne den frühestmöglichen Zeitpunkt.
Löse die folgenden Gleichungen. Gib die Lösungen exakt und gerundet auf vier Dezimalstellen an. Nutze \(\ln\) zum Logarithmieren.
a) \(5 \cdot e^{2x} - 20 = 0\)
b) \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\) (Hinweis: Substitution \(u = e^x\))
c) \(\left(e^x - 2\right)\left(3e^x + 1\right) = 0\) (Faktor-Null-Regel)
d) \(2^x = 7^{x-1}\)
e) \(3 \cdot e^{x+1} = 15\)
f) \(e^{2x} - 3 \cdot e^x = 0\) (Ausklammern oder Substitution)
g) \(4^x = 3^{x+2}\)
h) \(e^{2x} - 4 \cdot e^x - 5 = 0\) (Substitution \(u = e^x\))
Wachstumskonstante \(k\) bestimmen
Gegeben \(N_0\) und ein Messwert \(N(t_1) = N_1\):
\[ k = \frac{1}{t_1} \cdot \ln\!\left(\frac{N_1}{N_0}\right) \]Verdopplungszeit (Wachstum, \(k > 0\))
\[ T_V = \frac{\ln 2}{k} \]Halbwertszeit (Zerfall, \(k < 0\))
\[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} \]Ableitung (Wachstumsrate)
\[ N'(t) = k \cdot N_0 \cdot e^{kt} = k \cdot N(t) \]Die Wachstumsrate ist stets proportional zum aktuellen Bestand.
Weiterführend: Für komplexere Modelle mit Polynomfaktoren (z. B. \(f(t) = a \cdot t \cdot e^{-bt}\)) und vollständige Kurvendiskussion mit Produkt- und Kettenregel, Extrempunkten und Integralen sieh die Textaufgabe Schmerzmittel.