Textaufgabe: Wirkstoffkonzentration im Blut

1. Konzentration zu Beginn (\(t = 0\)):

Setze \(t = 0\) in die Funktion ein:

\[c_a(0) = a \cdot 0 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0} = a \cdot 0 \cdot e^0 = a \cdot 0 \cdot 1 = 0\]

Interpretation: Direkt bei der Einnahme (Zeitpunkt 0) ist noch kein Wirkstoff im Blut.

2. Grenzwert für \(t \to \infty\):

Betrachte das Verhalten für große Werte von \(t\):

\[\lim_{t \to \infty} c_a(t) = \lim_{t \to \infty} \left( a \cdot t \cdot e^{-0{,}5t} \right)\]

Hier konkurrieren zwei Tendenzen:

• Der Term \(a \cdot t\) wächst linear mit \(t\)
• Der Term \(e^{-0{,}5t}\) fällt exponentiell gegen 0

Wichtig: Die Exponentialfunktion dominiert stets über Polynome! Das bedeutet: Der Faktor \(e^{-0{,}5t}\) wird für große \(t\) so schnell klein, dass das Produkt gegen 0 konvergiert.

Alternativ mit L'Hospital (Umformung zu „\(\frac{\infty}{\infty}\)"):

\[\lim_{t \to \infty} \frac{a \cdot t}{e^{0{,}5t}} \stackrel{\text{L'H}}{=} \lim_{t \to \infty} \frac{a}{0{,}5 \cdot e^{0{,}5t}} = \frac{a}{\infty} = 0\]

Interpretation: Auf lange Sicht wird der Wirkstoff vollständig abgebaut, die Konzentration geht gegen 0.

1. Erste Ableitung bilden:

Mit der Produktregel \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) und Kettenregel:

\[c_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}5t}\]

Setze \(u = a \cdot t\) und \(v = e^{-0{,}5t}\):

• \(u' = a\)
• \(v' = -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5t}\)

\[\begin{align} c'_a(t) &= a \cdot e^{-0{,}5t} + a \cdot t \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} \\ &= a \cdot e^{-0{,}5t} \cdot \left(1 - 0{,}5t\right) \end{align}\]

2. Notwendige Bedingung (\(c'_a(t) = 0\)):

\[a \cdot e^{-0{,}5t} \cdot (1 - 0{,}5t) = 0\]

Da \(a > 0\) und \(e^{-0{,}5t} > 0\) für alle \(t\), muss gelten:

\[1 - 0{,}5t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{0{,}5} = 2\]

Kandidat für Extremstelle: \(t_{\text{max}} = 2\) h

3. Hinreichende Bedingung (Zweite Ableitung):

Die hinreichende Bedingung beinhaltet die notwendige Bedingung: Wir setzen voraus, dass \(c'_a(2) = 0\) (notwendige Bedingung erfüllt). Nun prüfen wir mit der zweiten Ableitung, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

Bilde die zweite Ableitung mit Produktregel auf \(c'_a(t) = a \cdot (1 - 0{,}5t) \cdot e^{-0{,}5t}\):

\[\begin{align} c''_a(t) &= a \cdot \left[ -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5t} + (1 - 0{,}5t) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} \right] \\ &= a \cdot e^{-0{,}5t} \cdot \left[-0{,}5 - 0{,}5(1 - 0{,}5t)\right] \\ &= a \cdot e^{-0{,}5t} \cdot \left[-1 + 0{,}25t\right] \end{align}\]

Setze \(t = 2\) ein:

\[c''_a(2) = a \cdot e^{-1} \cdot [-1 + 0{,}5] = -0{,}5a \cdot e^{-1} < 0\]

Da \(c''_a(2) < 0\): Bei \(t = 2\) liegt ein Maximum.

4. Maximale Konzentration:

\[c_a(2) = a \cdot 2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2} = 2a \cdot e^{-1} = \frac{2a}{e} \approx 0{,}736a\]

5. Interpretation:

• Das Maximum wird unabhängig von \(a\) nach \(t = 2\) Stunden erreicht.
• Die maximale Konzentration beträgt etwa \(0{,}736a\) mg/l und hängt linear von der Dosis ab.
• Verdopplung der Dosis verdoppelt die maximale Konzentration.

1. Gleichung aufstellen:

Für \(a = 2\) lautet die Funktion:

\[c_2(t) = 2 \cdot t \cdot e^{-0{,}5t}\]

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen \(c_2(t) = 0{,}5\):

\[2t \cdot e^{-0{,}5t} = 0{,}5\]

Division durch 2:

\[t \cdot e^{-0{,}5t} = 0{,}25\]

2. Lösung der Gleichung:

Diese Gleichung lässt sich nicht analytisch (mit elementaren Funktionen) lösen. Wir verwenden eine grafische oder numerische Methode.

3. Numerisches Ergebnis:

Die Schnittpunkte liegen bei:

• \(t_1 \approx 0{,}289\) h (ca. 17 Minuten)
• \(t_2 \approx 6{,}523\) h (ca. 6 Stunden 31 Minuten)

4. Wirksamkeitsdauer:

\[\Delta t = t_2 - t_1 \approx 6{,}523 - 0{,}289 = 6{,}234 \text{ h}\]

5. Interpretation:

Das Medikament wirkt etwa 6,2 Stunden lang (von ca. 17 Minuten nach Einnahme bis ca. 6 Stunden 31 Minuten). In diesem Zeitraum liegt die Wirkstoffkonzentration über der wirksamen Schwelle von 0,5 mg/l.

1. Integral aufstellen:

Die Fläche entspricht dem bestimmten Integral:

\[A = \int_0^6 c_2(t) \, \text{d}t = \int_0^6 2t \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\]

2. Partielle Integration:

Verwende die Formel: \(\int u \cdot v' \, \text{d}t = u \cdot v - \int u' \cdot v \, \text{d}t\)

Wähle:

• \(u = 2t\) \(\Rightarrow\) \(u' = 2\)
• \(v' = e^{-0{,}5t}\) \(\Rightarrow\) \(v = -2 \cdot e^{-0{,}5t}\)

\[\begin{align} \int 2t \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t &= 2t \cdot (-2 e^{-0{,}5t}) - \int 2 \cdot (-2 e^{-0{,}5t}) \, \text{d}t \\ &= -4t \cdot e^{-0{,}5t} + 4 \int e^{-0{,}5t} \, \text{d}t \\ &= -4t \cdot e^{-0{,}5t} + 4 \cdot (-2 e^{-0{,}5t}) + C \\ &= -4t \cdot e^{-0{,}5t} - 8 e^{-0{,}5t} + C \end{align}\]

Stammfunktion:

\[F(t) = -4t \cdot e^{-0{,}5t} - 8 e^{-0{,}5t}\]

3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

\[\begin{align} A &= \left[ F(t) \right]_0^6 = F(6) - F(0) \\ &= \left[-4 \cdot 6 \cdot e^{-3} - 8 e^{-3}\right] - \left[-4 \cdot 0 \cdot e^{0} - 8 e^{0}\right] \\ &= -24e^{-3} - 8e^{-3} - (0 - 8) \\ &= -32e^{-3} + 8 \end{align}\]

Mit \(e^{-3} \approx 0{,}0498\):

\[A \approx -32 \cdot 0{,}0498 + 8 \approx -1{,}59 + 8 \approx 6{,}41 \text{ mg·h/l}\]

4. Visualisierung der Fläche:

5. Interpretation (Medizinischer Kontext):

Die Fläche von ca. 6,41 mg·h/l entspricht der AUC (Area Under Curve). Sie ist ein Maß für die Gesamtbelastung des Körpers mit dem Wirkstoff über die ersten 6 Stunden. Je größer die AUC, desto länger und intensiver ist der Körper dem Wirkstoff ausgesetzt. In der Pharmakokinetik wird die AUC verwendet, um die Bioverfügbarkeit und die kumulierte Wirkung eines Medikaments zu bewerten.