Wurzelfunktion – Umkehrfunktion
Wie kehrt man eine Funktion um, warum braucht \(x^2\) dafür einen eingeschränkten Definitionsbereich, und wie hängt die Wurzelfunktion damit zusammen?
Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\) macht das rückgängig, was \(f\) gemacht hat: Wenn \(f\) aus \(a\) den Wert \(b\) erzeugt, dann macht \(f^{-1}\) aus \(b\) wieder \(a\). Schau dir ein einfaches Beispiel mit einer Geraden an:
\(f(x) = 2x - 2\) (blau) macht aus \(x=3\) den Wert \(4\). Die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x) = 0{,}5x + 1\) (rot) macht aus \(4\) wieder \(3\). Beide Graphen sind Spiegelbilder an der gestrichelten Diagonale \(y=x\).
Koordinaten vertauschen
Liegt der Punkt \((a|b)\) auf dem Graphen von \(f\), dann liegt der Punkt mit vertauschten Koordinaten auf dem Graphen von \(f^{-1}\):
Im Graphen siehst du drei Punktepaare: Die blauen Punkte werden durch Vertauschen der Koordinaten zu den roten Punkten – verbunden durch die gestrichelten Linien, die jeweils senkrecht auf der Diagonale \(y=x\) stehen.
Warum braucht \(x^2\) eine Einschränkung?
Das Problem mit \(f(x) = x^2\)
Sowohl \(f(2) = 4\) als auch \(f(-2) = 4\) ergeben den gleichen Funktionswert. Im Graphen erkennst du das daran, dass die waagrechte Linie \(y=4\) die Parabel an zwei Stellen schneidet:
Eine Umkehrfunktion müsste aus \(4\) gleichzeitig \(2\) und \(-2\) machen – das ist nicht möglich, eine Funktion liefert immer genau einen Wert. Deshalb schränkt man den Definitionsbereich auf \(x \geq 0\) ein (rechter Ast). Dort ist \(f(x) = x^2\) injektiv (eindeutig umkehrbar).
Merke: Nur wenn jeder y-Wert genau einmal angenommen wird (Injektivität), gibt es eine Umkehrfunktion.
Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion von \(x^2\)
Beschränkt man \(f(x)=x^2\) auf \(x \geq 0\) (blau), ist die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\) (rot) – das Spiegelbild an der Diagonale \(y=x\). Beide Kurven haben den Definitionsbereich \(x \geq 0\) und keine Achsen- oder Punktsymmetrie.
Beispiel: Verschobene Parabel umkehren
Bei einer verschobenen Parabel geht es genauso – man muss nur am Ende die Wurzel ziehen: \(f(x) = (x-1)^2\) mit \(x \geq 1\).
Schritt 1 & 2: \(y = f(x)\) aufstellen, dann \(x\) und \(y\) vertauschen
Schritt 3: Nach \(y\) auflösen (Wurzel ziehen)
Also \(f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1\). Der Punkt \((2|1)\) auf \(f\) wird zum Punkt \((1|2)\) auf \(f^{-1}\) – im Graphen oben farblich markiert.
Kubikwurzel als Umkehrfunktion von \(x^3\)
Bei \(f(x) = x^3\) ist das Problem von oben gar nicht vorhanden: Jeder y-Wert wird nur einmal angenommen (die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) injektiv) – keine Einschränkung nötig.
Die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^3\) ist die Kubikwurzel \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}\), definiert für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da \(x^3\) punktsymmetrisch ist, ist auch \(\sqrt[3]{x}\) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Verschiebungen bei Wurzelfunktionen
Horizontale und vertikale Verschiebung
Der Parameter \(d\) verschiebt horizontal – wichtig: dabei verschiebt sich auch der Definitionsbereich, da unter der Wurzel kein negativer Wert stehen darf. Der Parameter \(c\) verschiebt vertikal und ändert den Definitionsbereich nicht.
\(f(x) = \sqrt{x-2}\)
Verschiebung um 2 nach rechts. Definitionsbereich: \(x \geq 2\) (Startpunkt bei \((2|0)\)).
\(f(x) = \sqrt{x} + 3\)
Verschiebung um 3 nach oben. Definitionsbereich bleibt \(x \geq 0\) (Startpunkt bei \((0|3)\)).
\(f(x) = \sqrt{x+2}\)
Verschiebung um 2 nach links. Definitionsbereich: \(x \geq -2\) (Startpunkt bei \((-2|0)\)).
Übungen
Punkte spiegeln
Vertausche die Koordinaten der Punkte und trage die gespiegelten Punkte ein:
Aufgabe: Umkehrfunktion berechnen
Gegeben: \(f(x) = (x-2)^2\) mit \(x \geq 2\). Berechne \(f^{-1}\) mit den drei Schritten (Gleichung aufstellen, vertauschen, nach \(y\) auflösen).
Lösung:
Also \(f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 2\) mit Definitionsbereich \(x \geq 0\).