Potenzfunktionen
Wie sehen Graphen von \(f(x) = x^n\) aus, welche Symmetrien gibt es und was passiert bei negativen Exponenten oder Verschiebungen?
Was ist eine Potenzfunktion?
Eine Potenzfunktion hat die Form \(f(x) = x^n\) mit einer natürlichen Zahl \(n\). Du kennst bereits \(f(x) = x^2\) (Normalparabel). Jetzt schauen wir uns an, wie sich der Graph verändert, wenn der Exponent größer wird, negativ ist, oder die Funktion verschoben wird.
Gemeinsame Punkte aller Potenzfunktionen
Egal welchen Exponenten \(n\) du wählst – jede Funktion \(f(x) = x^n\) verläuft durch dieselben zwei Punkte. Im Graphen siehst du das an den beiden markierten Punkten, durch die alle Kurven laufen:
Das liegt daran, dass \(0^n = 0\) und \(1^n = 1\) für jeden Exponenten \(n\) gilt.
Symmetrie: gerade und ungerade Exponenten
Gerader Exponent → achsensymmetrisch
Bei geradem Exponenten (z.B. \(x^2\), \(x^4\)) ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse – die linke Hälfte ist das Spiegelbild der rechten:
Beispiel: \((-2)^4 = 16 = 2^4\)
Ungerader Exponent → punktsymmetrisch
Bei ungeradem Exponenten (z.B. \(x^3\), \(x^5\)) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung – dreht man ihn um 180° um \((0|0)\), liegt er wieder auf sich selbst:
Beispiel: \((-2)^3 = -8 = -(2^3)\)
Merke: Schaue dir nur den Exponenten an: gerade Hochzahl → Symmetrie zur y-Achse, ungerade Hochzahl → Symmetrie zum Ursprung \((0|0)\).
Das Vorzeichen des Vorfaktors
Beispiel: \(f(x) = -x^2\)
Ein negativer Vorfaktor spiegelt den Graphen an der x-Achse, ändert aber nichts an der Symmetrieart. Vergleiche die beiden Parabeln:
Beobachtung
Während \(f(x) = x^2\) nach oben geöffnet ist, ist \(f(x) = -x^2\) nach unten geöffnet.
Symmetrie bleibt erhalten
\(f(x) = -x^2\) ist weiterhin achsensymmetrisch zur y-Achse, da der Exponent (2) gerade ist – nur die Öffnungsrichtung hat sich geändert.
Negative Exponenten
Ein negativer Exponent bedeutet: Kehrwert bilden.
\(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\)
- Punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerader Exponent \(-1\))
- Definitionslücke bei \(x = 0\)
- Graph nähert sich den Koordinatenachsen an (Asymptoten, gestrichelt im Graphen), erreicht sie aber nie
\(f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)
- Achsensymmetrisch zur y-Achse (gerader Exponent \(-2\))
- Definitionslücke bei \(x = 0\)
- Funktionswerte sind immer positiv: \(\frac{1}{x^2} > 0\) für alle \(x \neq 0\)
Verschiebungen
Horizontale und vertikale Verschiebung
Der Parameter \(d\) verschiebt den Graphen horizontal (nach rechts bei \(d>0\)), der Parameter \(c\) verschiebt ihn vertikal (nach oben bei \(c>0\)).
Beispiel: Nullstelle von \(f(x) = (x-3)^5\)
Im Graphen siehst du, wie \(x^5\) (blau) komplett um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird (rot):
Schritt 1: Ausgangsfunktion erkennen
\(f(x) = (x-3)^5\) ist die Funktion \(x^5\), verschoben um \(d = 3\) nach rechts.
Schritt 2: Nullstelle ablesen
Die Nullstelle von \(x^5\) liegt bei \(x=0\); durch die Verschiebung um 3 liegt sie jetzt bei \(x = 3\).
Aufgabe: \(f(x) = x^3 + 2\)
Wie verändert sich der Graph von \(f(x) = x^3\) bei dieser Funktion, und welche Symmetrie liegt vor? Schau dir zuerst den Graphen an, bevor du die Lösung aufklappst:
Lösung:
Der Graph von \(x^3\) wird um \(c = 2\) nach oben verschoben (vertikale Verschiebung).
Die Symmetrie bleibt punktsymmetrisch – allerdings nicht mehr zum Ursprung, sondern zum verschobenen Punkt \((0|2)\), da der Exponent (3) ungerade ist.
Übungen
Graphen zuordnen
Ordne jedem Graphen den passenden Term zu. Achte auf Definitionslücken und Symmetrie.