f(x) = 0
x² + px + q
x₁,₂

Nullstellen quadratischer Funktionen

Entdecke die drei Lösungsmethoden und lerne, wann du welche verwendest

Zurück zur Übersicht

Was sind Nullstellen?

Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Das bedeutet: An diesen Stellen ist der Funktionswert \(f(x) = 0\).

Warum sind Nullstellen wichtig?

  • Sie zeigen, wo eine Funktion die x-Achse schneidet
  • Sie helfen, Gleichungen zu lösen
  • Sie haben viele praktische Anwendungen (z.B. Flugbahnen, Gewinnberechnung)

Wie viele Nullstellen gibt es?

  • Zwei Nullstellen: Graph schneidet x-Achse zweimal
  • Eine Nullstelle: Graph berührt x-Achse (Scheitelpunkt auf x-Achse)
  • Keine Nullstelle: Graph liegt ganz über oder unter der x-Achse

Die drei Darstellungsformen

Jede quadratische Funktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden. Jede Form hat ihre eigenen Vorteile und eignet sich für unterschiedliche Aufgaben:

Normalform

\(f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c\)

Vorteile:

  • p,q-Formel anwendbar
  • Zeigt y-Achsenabschnitt direkt (c)
  • Einfach zu multiplizieren und addieren
  • Standard-Darstellung

Nachteile:

  • Nullstellen nicht direkt ablesbar
  • Scheitelpunkt muss berechnet werden

Faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

Vorteile:

  • Nullstellen direkt ablesbar (x₁ und x₂)
  • Ideal zum Lösen von Gleichungen
  • Symmetrieachse leicht zu finden

Nachteile:

  • Nur möglich, wenn Nullstellen existieren
  • y-Achsenabschnitt muss berechnet werden

Scheitelpunktform

\(f(x) = a(x - b)^2 + c\)

Vorteile:

  • Scheitelpunkt direkt ablesbar S(b|c)
  • Zeigt Verschiebung der Parabel
  • Ideal für Extremwertaufgaben

Nachteile:

  • Nullstellen müssen berechnet werden
  • Quadratische Ergänzung nötig zur Umformung
Tipp: Im Funktionsplotter unten kannst du zwischen den drei Formen wechseln und sehen, wie dieselbe Parabel in verschiedenen Darstellungen aussieht!

Interaktiver Funktionsplotter

Wähle die Darstellungsform und verändere die Parameter:

Funktion: \(f(x) = x^2 - 4\)

Die drei Lösungsmethoden

Je nach Form der Gleichung gibt es unterschiedliche Methoden, um die Nullstellen zu berechnen. Hier lernst du, welche Methode wann am besten geeignet ist.

Methode 1: Wurzelziehen (bei \(x^2 - c = 0\))

Wann verwenden?

Diese Methode verwendest du, wenn die Gleichung nur \(x^2\) und eine Zahl enthält, aber kein x.

Vorgehensweise:

  1. Bringe die Gleichung in die Form \(x^2 = c\)
  2. Ziehe die Wurzel: \(x = \pm\sqrt{c}\)
  3. Gib beide Lösungen an: \(x_1 = \sqrt{c}\) und \(x_2 = -\sqrt{c}\)
Achtung: Vergiss nicht das \(\pm\) (plus-minus) Zeichen!

Beispiel:

Aufgabe: \(x^2 - 9 = 0\)

Lösung:

\[ \begin{align} x^2 - 9 &= 0 \quad | + 9 \\ x^2 &= 9 \quad | \sqrt{\phantom{x}} \\ x &= \pm 3 \\ x_1 = 3 &\text{, } x_2 = -3 \end{align} \]

Weitere Beispiele:

Lösung: \[ \begin{align} x^2 - 16 &= 0 \\ x^2 &= 16 \\ x &= \pm 4 \\ x_1 = 4 &\text{, } x_2 = -4 \end{align} \]

Lösung: \[ \begin{align} 3 \cdot x^2 - 12 &= 0 \\ 3 \cdot x^2 &= 12 \quad | : 3 \\ x^2 &= 4 \\ x &= \pm 2 \\ x_1 = 2 &\text{, } x_2 = -2 \end{align} \]

Lösung: \[ \begin{align} x^2 + 4 &= 0 \\ x^2 &= -4 \end{align} \]
Keine Lösung! Die Wurzel aus einer negativen Zahl existiert nicht (in den reellen Zahlen).

Methode 2: Ausklammern (bei \(x^2 + b \cdot x = 0\))

Wann verwenden?

Diese Methode verwendest du, wenn die Gleichung \(x^2\) und \(x\) enthält, aber keine Zahl ohne x (kein absolutes Glied).

Vorgehensweise:

  1. Klammere \(x\) aus: \(x \cdot (x + b) = 0\)
  2. Nutze den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist
  3. Setze jeden Faktor gleich null:
    • \(x = 0\) → \(x_1 = 0\)
    • \(x + b = 0\) → \(x_2 = -b\)
Merke: Eine Nullstelle ist immer \(x = 0\)!

Beispiel:

Aufgabe: \(x^2 + 5 \cdot x = 0\)

Lösung:

\[ \begin{align} x^2 + 5 \cdot x &= 0 \\ x \cdot (x + 5) &= 0 \\ \\ x_1 &= 0 \\ x + 5 &= 0 \quad | - 5 \\ x_2 &= -5 \end{align} \]

Weitere Beispiele:

Lösung: \[ \begin{align} x^2 - 7 \cdot x &= 0 \\ x \cdot (x - 7) &= 0 \\ \\ x_1 &= 0 \\ x - 7 &= 0 \\ x_2 &= 7 \end{align} \]

Lösung: \[ \begin{align} 2 \cdot x^2 + 8 \cdot x &= 0 \\ 2 \cdot x \cdot (x + 4) &= 0 \quad | : 2 \\ x \cdot (x + 4) &= 0 \\ \\ x_1 &= 0 \\ x + 4 &= 0 \\ x_2 &= -4 \end{align} \]

Methode 3: p,q-Formel (bei \(x^2 + p \cdot x + q = 0\))

Wann verwenden?

Diese Methode ist die universelle Methode und funktioniert immer. Verwende sie, wenn die Gleichung alle drei Terme enthält: \(x^2\), \(x\) und eine Zahl.

Die p,q-Formel:

\[ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \]

Vorgehensweise:

  1. Bringe die Gleichung in die Normalform: \(x^2 + p \cdot x + q = 0\)
    (Falls vor \(x^2\) eine Zahl steht, teile die ganze Gleichung durch diese Zahl)
  2. Lies \(p\) und \(q\) ab
  3. Setze \(p\) und \(q\) in die Formel ein
  4. Berechne den Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante):
    • Positiv → zwei Lösungen
    • Null → eine Lösung
    • Negativ → keine Lösung

Beispiel:

Aufgabe: \(x^2 + 6 \cdot x + 5 = 0\)

Lösung:

\[ \begin{align} &\text{Ablesen: } p = 6, \, q = 5 \\ \\ x_{1,2} &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 - 5} \\ &= -3 \pm \sqrt{9 - 5} \\ &= -3 \pm \sqrt{4} \\ &= -3 \pm 2 \\ \\ x_1 &= -3 + 2 = -1 \\ x_2 &= -3 - 2 = -5 \end{align} \]

Weitere Beispiele:

Lösung: \[ \begin{align} &\text{Ablesen: } p = -4, \, q = 3 \\ \\ x_{1,2} &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 3} \\ &= 2 \pm \sqrt{4 - 3} \\ &= 2 \pm \sqrt{1} \\ &= 2 \pm 1 \\ \\ x_1 &= 3 \\ x_2 &= 1 \end{align} \]

Lösung: \[ \begin{align} &\text{Ablesen: } p = 2, \, q = -8 \\ \\ x_{1,2} &= -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-8)} \\ &= -1 \pm \sqrt{1 + 8} \\ &= -1 \pm \sqrt{9} \\ &= -1 \pm 3 \\ \\ x_1 &= 2 \\ x_2 &= -4 \end{align} \]

Lösung: \[ \begin{align} 2 \cdot x^2 + 8 \cdot x + 6 &= 0 \quad | : 2 \\ x^2 + 4 \cdot x + 3 &= 0 \\ \\ &\text{Ablesen: } p = 4, \, q = 3 \\ \\ x_{1,2} &= -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - 3} \\ &= -2 \pm \sqrt{4 - 3} \\ &= -2 \pm 1 \\ \\ x_1 &= -1 \\ x_2 &= -3 \end{align} \]

Interaktiver p,q-Formel-Rechner

Gib die Werte für \(p\) und \(q\) direkt in die Gleichung ein:

\(x^2 + (\) \() \cdot x + (\) \() = 0\)
p = Faktor vor x | q = Konstantes Glied

Quiz: Welche Methode ist die beste?

Wähle für jede Gleichung die am besten geeignete Methode:

Anwendungsaufgaben

Nullstellen haben viele praktische Anwendungen. Hier sind zwei Beispiele:

Eine Kerze brennt ab. Ihre Höhe \(h\) in cm nach \(t\) Stunden kann durch die Funktion \(h(t) = -2 \cdot t^2 + 12 \cdot t + 10\) beschrieben werden.

Frage: Nach wie vielen Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt?

Lösung:

Die Kerze ist abgebrannt, wenn \(h(t) = 0\). Wir müssen also die Gleichung \(-2 \cdot t^2 + 12 \cdot t + 10 = 0\) lösen.

Zuerst teilen wir durch -2:

\[ \begin{align} -2 \cdot t^2 + 12 \cdot t + 10 &= 0 \quad | : (-2) \\ t^2 - 6 \cdot t - 5 &= 0 \end{align} \]

Jetzt verwenden wir die p,q-Formel mit \(p = -6\) und \(q = -5\):

\[ \begin{align} t_{1,2} &= -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - (-5)} \\ &= 3 \pm \sqrt{9 + 5} \\ &= 3 \pm \sqrt{14} \\ &\approx 3 \pm 3{,}74 \\ \\ t_1 &\approx 6{,}74 \\ t_2 &\approx -0{,}74 \end{align} \]

Antwort: Die Kerze ist nach ca. 6,74 Stunden (etwa 6 Stunden und 44 Minuten) abgebrannt. Die negative Lösung ergibt in diesem Kontext keinen Sinn.

Ein Weitspringer springt ab. Seine Flugbahn kann durch die Funktion \(h(x) = -0{,}2 \cdot x^2 + 1{,}2 \cdot x\) beschrieben werden, wobei \(h\) die Höhe in Metern und \(x\) die horizontale Entfernung vom Absprungpunkt ist.

Frage: Wie weit springt der Athlet?

Lösung:

Der Athlet landet, wenn \(h(x) = 0\). Wir lösen: \(-0{,}2 \cdot x^2 + 1{,}2 \cdot x = 0\)

Dies ist eine Gleichung der Form \(x^2 + b \cdot x = 0\), also verwenden wir Ausklammern:

\[ \begin{align} -0{,}2 \cdot x^2 + 1{,}2 \cdot x &= 0 \\ x \cdot (-0{,}2 \cdot x + 1{,}2) &= 0 \\ \\ x_1 &= 0 \quad \text{(Absprungpunkt)} \\ -0{,}2 \cdot x + 1{,}2 &= 0 \\ -0{,}2 \cdot x &= -1{,}2 \quad | : (-0{,}2) \\ x_2 &= 6 \end{align} \]

Antwort: Der Athlet springt 6 Meter weit.

Wurzelziehen

Form: \(x^2 - c = 0\)

Beispiel: \(x^2 - 9 = 0\)

Vorteil: Schnell und einfach

Ausklammern

Form: \(x^2 + b \cdot x = 0\)

Beispiel: \(x^2 + 5 \cdot x = 0\)

Vorteil: Eine Nullstelle ist immer 0

p,q-Formel

Form: \(x^2 + p \cdot x + q = 0\)

Beispiel: \(x^2 + 6 \cdot x + 5 = 0\)

Vorteil: Funktioniert immer!