Wahrscheinlichkeitsrechnung: Ziehen mit Zurücklegen

Schritt 1: Die wichtigsten Informationen zusammenfassen

Wir haben folgende Ausgangssituation:

• 4 weiße Kugeln
• 6 schwarze Kugeln
• Insgesamt also 10 Kugeln
• Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen
• Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(genau 2 weiße Kugeln)

Schritt 2: Baumdiagramm erstellen

Wir erstellen ein Baumdiagramm, um die möglichen Ergebnisse darzustellen:

Wichtig: Bei Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Zusammensetzung der Urne unverändert. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben also in jedem Zug gleich: P(weiß) = 4/10 = 0,4 und P(schwarz) = 6/10 = 0,6.

Schritt 3: Finden der günstigen Ergebnisse

Wir suchen alle möglichen Wege, genau 2 weiße Kugeln zu ziehen. Dafür müssen wir überlegen, wie die 2 weißen Kugeln bei insgesamt 3 Zügen verteilt sein können:

• Möglichkeit 1: weiß, weiß, schwarz
• Möglichkeit 2: weiß, schwarz, weiß
• Möglichkeit 3: schwarz, weiß, weiß

Diese drei Möglichkeiten sind die einzigen Wege, genau 2 weiße Kugeln zu erhalten.

Schritt 4: Berechnung mit der Pfadregel

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für jede Möglichkeit:

P(weiß, weiß, schwarz) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096

P(weiß, schwarz, weiß) = 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096

P(schwarz, weiß, weiß) = 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,096

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für genau 2 weiße Kugeln erhalten wir, indem wir alle drei Möglichkeiten addieren:

P(genau 2 weiße) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288 = 28,8%

Schritt 5: Systematisches Zählen der günstigen Fälle

Wir können auch systematischer vorgehen, indem wir überlegen, wie viele verschiedene Anordnungen es für das Ereignis "genau 2 weiße Kugeln bei 3 Zügen" gibt:

Bei 3 Zügen gibt es insgesamt 3 Positionen, an denen weiße Kugeln auftreten können. Wir wollen genau 2 weiße Kugeln haben, d.h. wir müssen 2 dieser 3 Positionen auswählen.

Die möglichen Anordnungen sind:

• Weiß an Position 1 und 2, Schwarz an Position 3: W-W-S
• Weiß an Position 1 und 3, Schwarz an Position 2: W-S-W
• Weiß an Position 2 und 3, Schwarz an Position 1: S-W-W

Wir haben also 3 verschiedene Anordnungen für genau 2 weiße Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Anordnungen ist:

P(weiß, weiß, schwarz) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096

P(weiß, schwarz, weiß) = 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096

P(schwarz, weiß, weiß) = 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,096

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition:

P(genau 2 weiße) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 3 · 0,096 = 0,288 = 28,8\%