Pfadregeln und Formeln in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Was sind Pfadregeln und wozu brauchen wir sie?

Pfadregeln sind wichtige Werkzeuge in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die dir helfen, komplexe Wahrscheinlichkeitsprobleme zu lösen. Sie kommen besonders bei Baumdiagrammen zur Anwendung, wo wir oft mehrere Schritte (oder "Pfade") betrachten müssen.

Mit Pfadregeln können wir berechnen:

Wie wahrscheinlich es ist, dass mehrere Ereignisse nacheinander eintreten (UND-Verknüpfung)
Wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens eines von mehreren möglichen Ereignissen eintritt (ODER-Verknüpfung)

Stell dir vor, du würfelst zweimal hintereinander. Du könntest fragen:

Wie wahrscheinlich ist es, sowohl beim ersten als auch beim zweiten Wurf eine 6 zu würfeln? → UND-Verknüpfung (1. Pfadregel)
Wie wahrscheinlich ist es, entweder beim ersten oder beim zweiten Wurf (oder bei beiden) eine 6 zu würfeln? → ODER-Verknüpfung (2. Pfadregel)

Die 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)

1. Pfadregel: Die "UND"-Regel

Die 1. Pfadregel verwenden wir, wenn mehrere Ereignisse nacheinander eintreten sollen. Wir fragen: "Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A UND Ereignis B eintreten?"

P(A und B) = P(A) · P(B)

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit für "A und B" ist das Produkt (Multiplikation) aus:

der Wahrscheinlichkeit für Ereignis A: P(A)
der Wahrscheinlichkeit für Ereignis B, unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist: P(B|A)

Bei Baumdiagrammen entspricht dies dem Multiplizieren aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades.

Beispiel: Zweimal Würfeln

Du würfelst zweimal hintereinander mit einem normalen sechsseitigen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln?

Wahrscheinlichkeit für die erste 6

P(erste 6) = 1/6 ≈ 0,167 oder 16,7%

Wahrscheinlichkeit für die zweite 6

P(zweite 6) = 1/6 ≈ 0,167 oder 16,7%

Hinweis: Da die Würfe unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Wurf gleich wie beim ersten.

Anwendung der 1. Pfadregel (Multiplikation)

P(zweimal 6) = P(erste 6) · P(zweite 6) = 1/6 · 1/6 = 1/36 ≈ 0,028 oder 2,8%

Wichtig zu wissen

Beachte den Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen:

Mit Zurücklegen: Die gezogene Kugel wird zurückgelegt, daher bleiben die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug gleich.
Ohne Zurücklegen: Die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt, daher ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Zug.

Die 2. Pfadregel (Additionsregel)

2. Pfadregel: Die "ODER"-Regel

Die 2. Pfadregel verwenden wir, wenn wir wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens eines von mehreren Ereignissen eintritt. Wir fragen: "Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A ODER Ereignis B eintritt?"

P(A oder B) = P(A) + P(B)

Bei Baumdiagrammen entspricht dies dem Addieren der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade, die zum selben Ergebnis führen.

Beispiel: Mindestens eine 6 beim zweimaligen Würfeln

Du würfelst zweimal hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine 6 zu würfeln?

Baumdiagramm für mindestens eine 6 beim zweimaligen Würfeln

"Mindestens einmal eine 6" bedeutet: entweder nur beim ersten Wurf eine 6, oder nur beim zweiten Wurf eine 6, oder bei beiden Würfen eine 6.

Die verschiedenen Möglichkeiten identifizieren

Möglichkeit 1: Erste 6, zweite keine 6
Möglichkeit 2: Erste keine 6, zweite 6
Möglichkeit 3: Erste 6, zweite 6

Berechnung der einzelnen Pfad-Wahrscheinlichkeiten (mit 1. Pfadregel)

P(6, keine 6) = 1/6 · 5/6 = 5/36 ≈ 0,139 oder 13,9%

P(keine 6, 6) = 5/6 · 1/6 = 5/36 ≈ 0,139 oder 13,9%

P(6, 6) = 1/6 · 1/6 = 1/36 ≈ 0,028 oder 2,8%

Anwendung der 2. Pfadregel (Addition der Pfade)

P(mindestens eine 6) = P(6, keine 6) + P(keine 6, 6) + P(6, 6)

P(mindestens eine 6) = 5/36 + 5/36 + 1/36 = 11/36 ≈ 0,306 oder 30,6%

Alternative Berechnung über Gegenereignis

Manchmal ist es einfacher, das Gegenereignis zu berechnen:

P(mindestens eine 6) = 1 - P(keine 6)

P(keine 6) = P(keine 6, keine 6) = 5/6 · 5/6 = 25/36

P(mindestens eine 6) = 1 - 25/36 = 11/36 ≈ 0,306 oder 30,6%

Vergleich: UND-Verknüpfung vs. ODER-Verknüpfung

Um die beiden Pfadregeln besser zu verstehen, schauen wir uns die Unterschiede zwischen UND-Verknüpfung und ODER-Verknüpfung genauer an:

Aspekt	UND-Verknüpfung (1. Pfadregel)	ODER-Verknüpfung (2. Pfadregel)
Bedeutung	Alle Ereignisse müssen eintreten	Mindestens eines der Ereignisse muss eintreten
Formel	P(A und B) = P(A) · P(B)	P(A oder B) = P(A) + P(B)
Im Baumdiagramm	Multiplikation entlang eines Pfades	Addition verschiedener Pfade, die zum selben Ergebnis führen
Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit	Wahrscheinlichkeit wird meistens kleiner	Wahrscheinlichkeit wird meistens größer
Beispiel	Zweimal hintereinander eine 6 würfeln	Mindestens einmal eine 6 beim zweimaligen Würfeln
Schlüsselwörter in Aufgaben	"sowohl... als auch", "und", "beide"	"entweder... oder", "mindestens", "höchstens"

Merkhilfe

Ein einfacher Trick, um dir die Regeln zu merken:

Bei UND-Verknüpfungen multiplizieren wir: Die Buchstaben U-N-D enthalten ein N wie Null und ein D wie Durchmultiplizieren
Bei ODER-Verknüpfungen addieren wir: Die Buchstaben O-D-E-R enthalten ein D wie Dazuaddieren

Lösung der Übungsaufgabe

Analyse des Problems

Es gibt zwei Hauptpfade, je nachdem, ob Kopf oder Zahl gewürfelt wird:

Bei Kopf: Ein Würfelwurf
Bei Zahl: Zwei Würfelwürfe

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 insgesamt.

Wahrscheinlichkeit bei Kopf

Wenn Kopf geworfen wird (P(Kopf) = 0,5), dürfen wir einmal würfeln.

Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bei einem Würfelwurf ist P(6) = 1/6.

Mit der 1. Pfadregel (UND) berechnen wir:

P(Kopf und 6) = P(Kopf) · P(6) = 0,5 · 1/6 = 0,5 · 0,167 = 0,0835 ≈ 8,35%

Wahrscheinlichkeit bei Zahl

Wenn Zahl geworfen wird (P(Zahl) = 0,5), dürfen wir zweimal würfeln.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 bei zwei Würfelwürfen hatten wir bereits berechnet:

P(mindestens eine 6 bei zwei Würfen) = 11/36 ≈ 0,306 oder 30,6%

Mit der 1. Pfadregel (UND) berechnen wir:

P(Zahl und mind. eine 6) = P(Zahl) · P(mind. eine 6 bei zwei Würfen) = 0,5 · 11/36 = 0,5 · 0,306 = 0,153 ≈ 15,3%

Gesamtwahrscheinlichkeit mit der 2. Pfadregel (ODER)

Wir haben zwei mögliche Wege, wie mindestens eine 6 gewürfelt werden kann:

Kopf und dann eine 6
Zahl und dann mindestens eine 6 bei zwei Würfen

Mit der 2. Pfadregel (ODER) berechnen wir:

P(insgesamt mind. eine 6) = P(Kopf und 6) + P(Zahl und mind. eine 6)

P(insgesamt mind. eine 6) = 0,0835 + 0,153 = 0,2365 ≈ 23,65%

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt mindestens eine 6 gewürfelt wird, beträgt etwa 23,65% oder ungefähr 24%.

In dieser Aufgabe haben wir beide Pfadregeln angewendet:

Die 1. Pfadregel (Multiplikation) für die einzelnen Pfade
Die 2. Pfadregel (Addition) für die Kombination der Pfade