Gleichungssysteme: Zahlenrätsel

Das Zahlenrätsel

Die Summe zweier Zahlen ist 70. Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite Zahl, vermindert um 5. Wie lauten die beiden Zahlen?

Schritt 1: Variablen festlegen

Zuerst müssen wir Variablen für die unbekannten Werte festlegen:

x = Die erste Zahl

y = Die zweite Zahl

Wir wollen beide Zahlen bestimmen, daher definieren wir für jede eine eigene Variable.

Schritt 2: Gleichungen aufstellen

Nun stellen wir die Gleichungen basierend auf den gegebenen Informationen auf:

Erste Bedingung: "Die Summe zweier Zahlen ist 70."

x + y = 70 (Gleichung 1)

Die erste Zahl x plus die zweite Zahl y ergibt zusammen 70.

Zweite Bedingung: "Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite Zahl, vermindert um 5."

x = 2y - 5 (Gleichung 2)

Hier bedeutet "doppelt so groß wie die zweite Zahl" den Term 2y, und "vermindert um 5" zeigt, dass wir 5 subtrahieren. Also: x = 2y - 5

Gleichungssystem: Beide Gleichungen ergeben zusammen unser Gleichungssystem:

x + y = 70

x = 2y - 5

Schritt 3: Lösungsmethode wählen

Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:

Grafische Lösung

Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt:

x + y = 70 (Erste Bedingung)
x = 2y - 5 (Zweite Bedingung)

Lösung aus dem Graphen:

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (45, 25).

Das bedeutet:

Die erste Zahl ist x = 45.
Die zweite Zahl ist y = 25.

Überprüfung:

Summe: 45 + 25 = 70 ✓
Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓

Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

x + y = 70 (Gleichung 1)

x = 2y - 5 (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir lösen die erste Gleichung nach x auf:

x = 70 - y (aus Gleichung 1)

Schritt 3: Wir setzen diese Ausdrücke für x gleich, da für die Lösung x in beiden Gleichungen gleich sein muss:

70 - y = 2y - 5

Wir haben die beiden Ausdrücke für x gleichgesetzt.

Schritt 4: Wir lösen nach y auf:

70 - y = 2y - 5

70 + 5 = 2y + y

75 = 3y

y = 25

Schritt 5: Wir setzen den Wert für y in die Gleichung x = 70 - y ein, um x zu berechnen:

x = 70 - 25

x = 45

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

Die beiden Zahlen sind:

Erste Zahl: x = 45
Zweite Zahl: y = 25

Überprüfung:

Summe: 45 + 25 = 70 ✓
Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

x + y = 70 (Gleichung 1)

x = 2y - 5 (Gleichung 2)

Schritt 2: Die zweite Gleichung gibt uns bereits x ausgedrückt durch y.

x = 2y - 5

Wir können diesen Ausdruck direkt in die erste Gleichung einsetzen.

Schritt 3: Einsetzen in die erste Gleichung:

(2y - 5) + y = 70

Schritt 4: Wir lösen nach y auf:

2y - 5 + y = 70

3y - 5 = 70

3y = 75

y = 25

Schritt 5: Wir setzen den Wert für y in die Gleichung x = 2y - 5 ein, um x zu berechnen:

x = 2 · 25 - 5

x = 50 - 5

x = 45

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Die beiden Zahlen sind:

Erste Zahl: x = 45
Zweite Zahl: y = 25

Überprüfung:

Summe: 45 + 25 = 70 ✓
Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓

Lösung mithilfe des Additionsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

x + y = 70 (Gleichung 1)

x = 2y - 5 (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir schreiben beide Gleichungen so um, dass wir sie addieren können. Die zweite Gleichung bringen wir in die Form mit x:

x + y = 70

x - 2y = -5 (Gleichung 2 umgestellt)

Schritt 3: Wir multiplizieren die erste Gleichung mit -1 und addieren dann, um x zu eliminieren:

-x - y = -70 (Gleichung 1 mit -1 multipliziert)

x - 2y = -5 (Gleichung 2 umgestellt)

-----------------

-3y = -75

y = 25

Schritt 4: Wir setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein, um x zu berechnen:

x + 25 = 70

x = 45

Lösung mit dem Additionsverfahren:

Die beiden Zahlen sind:

Erste Zahl: x = 45
Zweite Zahl: y = 25

Überprüfung:

Summe: 45 + 25 = 70 ✓
Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓