Zahlenrätsel
Finde zwei Zahlen, die bestimmte Bedingungen erfüllen - ein klassisches Zahlenrätsel mit Gleichungssystemen.
Das Zahlenrätsel
Die Summe zweier Zahlen ist 70. Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite Zahl, vermindert um 5. Wie lauten die beiden Zahlen?
Schritt 1: Variablen festlegen
Zuerst müssen wir Variablen für die unbekannten Werte festlegen:
x = Die erste Zahl
y = Die zweite Zahl
Wir wollen beide Zahlen bestimmen, daher definieren wir für jede eine eigene Variable.
Schritt 2: Gleichungen aufstellen
Nun stellen wir die Gleichungen basierend auf den gegebenen Informationen auf:
Erste Bedingung: "Die Summe zweier Zahlen ist 70."
Die erste Zahl x plus die zweite Zahl y ergibt zusammen 70.
Zweite Bedingung: "Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite Zahl, vermindert um 5."
Hier bedeutet "doppelt so groß wie die zweite Zahl" den Term 2y, und "vermindert um 5" zeigt, dass wir 5 subtrahieren. Also: x = 2y - 5
Gleichungssystem:
x + y = 70
x = 2y - 5
Schritt 3: Lösungsmethode wählen
Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:
Grafische Lösung
Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt:
x + y = 70 Erste Bedingung
x = 2y - 5 Zweite Bedingung
Lösung aus dem Graphen:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (45, 25).
Das bedeutet:
- Die erste Zahl ist x = 45.
- Die zweite Zahl ist y = 25.
Überprüfung:
- Summe: 45 + 25 = 70 ✓
- Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓
Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
x + y = 70 Gleichung 1
x = 2y - 5 Gleichung 2
Schritt 2: Wir lösen die erste Gleichung nach x auf:
x = 70 - y aus Gleichung 1
Schritt 3: Wir setzen diese Ausdrücke für x gleich, da für die Lösung x in beiden Gleichungen gleich sein muss:
70 - y = 2y - 5
Wir haben die beiden Ausdrücke für x gleichgesetzt.
Schritt 4: Wir lösen nach y auf:
70 - y = 2y - 5
70 + 5 = 2y + y
75 = 3y
y = 25
Schritt 5: Wir setzen den Wert für y in die Gleichung x = 70 - y ein, um x zu berechnen:
x = 70 - 25
x = 45
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:
Die beiden Zahlen sind:
- Erste Zahl: x = 45
- Zweite Zahl: y = 25
Überprüfung:
- Summe: 45 + 25 = 70 ✓
- Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓
Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
x + y = 70 Gleichung 1
x = 2y - 5 Gleichung 2
Schritt 2: Die zweite Gleichung gibt uns bereits x ausgedrückt durch y.
x = 2y - 5
Wir können diesen Ausdruck direkt in die erste Gleichung einsetzen.
Schritt 3: Einsetzen in die erste Gleichung:
(2y - 5) + y = 70
Schritt 4: Wir lösen nach y auf:
2y - 5 + y = 70
3y - 5 = 70
3y = 75
y = 25
Schritt 5: Wir setzen den Wert für y in die Gleichung x = 2y - 5 ein, um x zu berechnen:
x = 2 · 25 - 5
x = 50 - 5
x = 45
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:
Die beiden Zahlen sind:
- Erste Zahl: x = 45
- Zweite Zahl: y = 25
Überprüfung:
- Summe: 45 + 25 = 70 ✓
- Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓
Lösung mithilfe des Additionsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
x + y = 70 Gleichung 1
x = 2y - 5 Gleichung 2
Schritt 2: Wir schreiben beide Gleichungen so um, dass wir sie addieren können. Die zweite Gleichung bringen wir in die Form mit x:
x + y = 70
x - 2y = -5 Gleichung 2 umgestellt
Schritt 3: Wir multiplizieren die erste Gleichung mit -1 und addieren dann, um x zu eliminieren:
-x - y = -70 Gleichung 1 mit -1 multipliziert
x - 2y = -5 Gleichung 2 umgestellt
-----------------
-3y = -75
y = 25
Schritt 4: Wir setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein, um x zu berechnen:
x + 25 = 70
x = 45
Lösung mit dem Additionsverfahren:
Die beiden Zahlen sind:
- Erste Zahl: x = 45
- Zweite Zahl: y = 25
Überprüfung:
- Summe: 45 + 25 = 70 ✓
- Erste Zahl = 2 · Zweite Zahl - 5: 45 = 2 · 25 - 5 = 50 - 5 = 45 ✓