Fahrradtour
Berechne, wann Lisa mit ihrem E-Bike Tim einholt - eine Bewegungsaufgabe mit Gleichungssystemen.
Die Fahrradtour-Aufgabe
Tim und Lisa machen eine Fahrradtour. Tim fährt mit seinem normalen Fahrrad und Lisa mit einem E-Bike. Lisa fährt konstant mit 20 km/h. Tim fährt etwas langsamer mit 15 km/h. Lisa startet 30 Minuten (0,5 Stunden) später als Tim. Nach wie vielen Stunden (seit Tims Start) hat Lisa Tim eingeholt?
Schritt 1: Variablen festlegen
Zuerst müssen wir Variablen für die unbekannten Werte festlegen:
x = Die Zeit in Stunden seit Tims Start
y = Die zurückgelegte Strecke in Kilometern
Wir wollen wissen, wann Lisa Tim einholt. Das passiert, wenn beide die gleiche Strecke zurückgelegt haben. Die Zeit x ist seit Tims Start gemessen, und y ist die gemeinsame Strecke, die beide zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen.
Schritt 2: Gleichungen aufstellen
Nun stellen wir für jeden Fahrer eine Gleichung auf, welche die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt:
Tims Strecke: Er fährt die gesamte Zeit x mit 15 km/h.
Tim fährt seit dem Start x Stunden mit 15 km/h, also beträgt seine zurückgelegte Strecke y = 15x km.
Lisas Strecke: Sie startet 0,5 Stunden später, fährt also nur (x - 0,5) Stunden mit 20 km/h.
y = 20 · (x - 0,5) Gleichung 2
y = 20x - 10
Lisa fährt (x - 0,5) Stunden mit 20 km/h, daher legt sie eine Strecke von y = 20(x - 0,5) = 20x - 10 km zurück.
Gleichungssystem:
y = 15x
y = 20x - 10
Wir suchen den Punkt, an dem beide die gleiche Strecke zurückgelegt haben. Das ist genau der Wert von x und y, für den beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind.
Schritt 3: Lösungsmethode wählen
Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:
Grafische Lösung
Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt:
y = 15x Tims Strecke
y = 20x - 10 Lisas Strecke
Lösung aus dem Graphen:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (2, 30).
Das bedeutet:
- Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
- Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.
Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.
Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
y = 15x Gleichung 1
y = 20x - 10 Gleichung 2
Schritt 2: Wir setzen beide Gleichungen gleich, da für die Lösung y in beiden Gleichungen gleich sein muss:
15x = 20x - 10
Wir haben die rechten Seiten gleichgesetzt, da beide gleich y sind.
Schritt 3: Wir lösen nach x auf:
15x = 20x - 10
15x - 20x = -10
-5x = -10
x = 2
Schritt 4: Wir setzen den Wert für x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu berechnen:
y = 15 · 2
y = 30
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:
Der Schnittpunkt ist (2, 30).
Das bedeutet:
- Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
- Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.
Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.
Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
y = 15x Gleichung 1
y = 20x - 10 Gleichung 2
Schritt 2: Wir können den Ausdruck für y aus Gleichung 1 in Gleichung 2 einsetzen:
15x = 20x - 10
Wir haben für y aus Gleichung 2 den Wert 15x aus Gleichung 1 eingesetzt.
Schritt 3: Wir lösen nach x auf:
15x = 20x - 10
15x - 20x = -10
-5x = -10
x = 2
Schritt 4: Wir setzen den Wert für x in die erste Gleichung ein, um y zu finden:
y = 15 · 2
y = 30
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:
Der Schnittpunkt ist (2, 30).
Das bedeutet:
- Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
- Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.
Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.
Lösung mithilfe des Additionsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen müssen wir zuerst in die Form "... = 0" umstellen:
y - 15x = 0 Gleichung 1
y - 20x + 10 = 0 Gleichung 2
Schritt 2: Wir wollen durch Addition der Gleichungen y eliminieren. Dazu müssen wir eine der Gleichungen mit -1 multiplizieren:
-y + 15x = 0 Gleichung 1 mit -1 multipliziert
y - 20x + 10 = 0 Gleichung 2
-----------------
-5x + 10 = 0
Schritt 3: Wir lösen nach x auf:
-5x + 10 = 0
-5x = -10
x = 2
Schritt 4: Wir setzen den Wert für x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu finden:
y = 15 · 2
y = 30
Lösung mit dem Additionsverfahren:
Der Schnittpunkt ist (2, 30).
Das bedeutet:
- Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
- Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.
Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.