Gleichungssysteme: Fahrradtour

Die Fahrradtour-Aufgabe

Tim und Lisa machen eine Fahrradtour. Tim fährt mit seinem normalen Fahrrad und Lisa mit einem E-Bike. Lisa fährt konstant mit 20 km/h. Tim fährt etwas langsamer mit 15 km/h. Lisa startet 30 Minuten (0,5 Stunden) später als Tim. Nach wie vielen Stunden (seit Tims Start) hat Lisa Tim eingeholt?

Schritt 1: Variablen festlegen

Zuerst müssen wir Variablen für die unbekannten Werte festlegen:

x = Die Zeit in Stunden seit Tims Start

y = Die zurückgelegte Strecke in Kilometern

Wir wollen wissen, wann Lisa Tim einholt. Das passiert, wenn beide die gleiche Strecke zurückgelegt haben. Die Zeit x ist seit Tims Start gemessen, und y ist die gemeinsame Strecke, die beide zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen.

Schritt 2: Gleichungen aufstellen

Nun stellen wir für jeden Fahrer eine Gleichung auf, welche die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt:

Tims Strecke: Er fährt die gesamte Zeit x mit 15 km/h.

y = 15 · x (Gleichung 1)

Tim fährt seit dem Start x Stunden mit 15 km/h, also beträgt seine zurückgelegte Strecke y = 15x km.

Lisas Strecke: Sie startet 0,5 Stunden später, fährt also nur (x - 0,5) Stunden mit 20 km/h.

y = 20 · (x - 0,5) (Gleichung 2)

y = 20x - 10

Lisa fährt (x - 0,5) Stunden mit 20 km/h, daher legt sie eine Strecke von y = 20(x - 0,5) = 20x - 10 km zurück.

Gleichungssystem: Beide Gleichungen ergeben zusammen unser Gleichungssystem:

y = 15x

y = 20x - 10

Wir suchen den Punkt, an dem beide die gleiche Strecke zurückgelegt haben. Das ist genau der Wert von x und y, für den beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind.

Schritt 3: Lösungsmethode wählen

Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:

Grafische Lösung

Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt:

y = 15x (Tims Strecke)
y = 20x - 10 (Lisas Strecke)

Lösung aus dem Graphen:

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (2, 30).

Das bedeutet:

Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.

Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.

Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

y = 15x (Gleichung 1)

y = 20x - 10 (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir setzen beide Gleichungen gleich, da für die Lösung y in beiden Gleichungen gleich sein muss:

15x = 20x - 10

Wir haben die rechten Seiten gleichgesetzt, da beide gleich y sind.

Schritt 3: Wir lösen nach x auf:

15x = 20x - 10

15x - 20x = -10

-5x = -10

x = 2

Schritt 4: Wir setzen den Wert für x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu berechnen:

y = 15 · 2

y = 30

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

Der Schnittpunkt ist (2, 30).

Das bedeutet:

Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.

Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

y = 15x (Gleichung 1)

y = 20x - 10 (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir können den Ausdruck für y aus Gleichung 1 in Gleichung 2 einsetzen:

15x = 20x - 10

Wir haben für y aus Gleichung 2 den Wert 15x aus Gleichung 1 eingesetzt.

Schritt 3: Wir lösen nach x auf:

15x = 20x - 10

15x - 20x = -10

-5x = -10

x = 2

Schritt 4: Wir setzen den Wert für x in die erste Gleichung ein, um y zu finden:

y = 15 · 2

y = 30

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Der Schnittpunkt ist (2, 30).

Das bedeutet:

Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.

Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.

Lösung mithilfe des Additionsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen müssen wir zuerst in die Form "... = 0" umstellen:

y - 15x = 0 (Gleichung 1)

y - 20x + 10 = 0 (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir wollen durch Addition der Gleichungen y eliminieren. Dazu müssen wir eine der Gleichungen mit -1 multiplizieren:

-y + 15x = 0 (Gleichung 1 mit -1 multipliziert)

y - 20x + 10 = 0 (Gleichung 2)

-----------------

-5x + 10 = 0

Schritt 3: Wir lösen nach x auf:

-5x + 10 = 0

-5x = -10

x = 2

Schritt 4: Wir setzen den Wert für x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu finden:

y = 15 · 2

y = 30

Lösung mit dem Additionsverfahren:

Der Schnittpunkt ist (2, 30).

Das bedeutet:

Nach x = 2 Stunden seit Tims Start hat Lisa Tim eingeholt.
Zu diesem Zeitpunkt haben beide y = 30 Kilometer zurückgelegt.

Interpretation: Lisa holt Tim nach 2 Stunden ein, obwohl sie 30 Minuten später gestartet ist. Das bedeutet, Lisa ist 1,5 Stunden gefahren und Tim 2 Stunden.