Eine kleine Lernwelt

Direktes Gleichungssystem

Löse das folgende Gleichungssystem mit zwei Variablen:

2x + 3y = 12

5x - 2y = 1

Schritt 1: Variablen festlegen

Bei diesem Gleichungssystem sind die Variablen bereits festgelegt:

x = Die erste Unbekannte

y = Die zweite Unbekannte

Wir müssen die Werte von x und y finden, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Schritt 2: Die Gleichungen

Die beiden Gleichungen sind bereits gegeben:

2x + 3y = 12 Gleichung 1

5x - 2y = 1 Gleichung 2

Wir können nun direkt mit der Lösung beginnen, da die Gleichungen bereits aufgestellt sind.

Schritt 3: Lösungsmethode wählen

Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:

Grafische Lösung

Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt:

2x + 3y = 12 Gleichung 1

5x - 2y = 1 Gleichung 2

Lösung aus dem Graphen:

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (27/19, 58/19) oder etwa (1,42, 3,05).

Das bedeutet:

x = 27/19 ≈ 1,42
y = 58/19 ≈ 3,05

Überprüfung:

Gleichung 1: 2·(27/19) + 3·(58/19) = 54/19 + 174/19 = 228/19 = 12 ✓
Gleichung 2: 5·(27/19) - 2·(58/19) = 135/19 - 116/19 = 19/19 = 1 ✓

Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

2x + 3y = 12 Gleichung 1

5x - 2y = 1 Gleichung 2

Schritt 2: Wir lösen beide Gleichungen nach einer Variablen auf, zum Beispiel nach y:

2x + 3y = 12

3y = 12 - 2x

y = 4 - 2x/3 aus Gleichung 1

5x - 2y = 1

-2y = 1 - 5x

y = (5x - 1) / 2 aus Gleichung 2

Schritt 3: Wir setzen diese beiden Ausdrücke für y gleich:

4 - 2x/3 = (5x - 1) / 2

Schritt 4: Wir multiplizieren beide Seiten mit 6, um die Brüche zu beseitigen:

6 · (4 - 2x/3) = 6 · ((5x - 1) / 2)

24 - 4x = 3 · (5x - 1)

24 - 4x = 15x - 3

Schritt 5: Wir lösen nach x auf:

24 - 4x = 15x - 3

24 + 3 = 15x + 4x

27 = 19x

x = 27/19

Schritt 6: Wir setzen den Wert für x in eine der Gleichungen für y ein, z.B. in y = 4 - 2x/3:

y = 4 - 2·(27/19)/3

y = 4 - (2·27)/(3·19)

y = 4 - 54/57 = 4 - 18/19

y = (76 - 18)/19 = 58/19

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

Die beiden Zahlen sind:

x = 27/19 ≈ 1,42
y = 58/19 ≈ 3,05

Überprüfung:

Gleichung 1: 2·(27/19) + 3·(58/19) = 54/19 + 174/19 = 228/19 = 12 ✓
Gleichung 2: 5·(27/19) - 2·(58/19) = 135/19 - 116/19 = 19/19 = 1 ✓

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

2x + 3y = 12 Gleichung 1

5x - 2y = 1 Gleichung 2

Schritt 2: Wir lösen eine der Gleichungen nach einer Variablen auf, z.B. Gleichung 1 nach y:

2x + 3y = 12

3y = 12 - 2x

y = 4 - 2x/3

Schritt 3: Wir setzen diesen Ausdruck für y in die zweite Gleichung ein:

5x - 2(4 - 2x/3) = 1

5x - 8 + 4x/3 = 1

Schritt 4: Wir multiplizieren alle Terme mit 3, um den Bruch zu beseitigen:

15x - 24 + 4x = 3

19x - 24 = 3

19x = 27

x = 27/19

Schritt 5: Wir setzen den Wert für x in den Ausdruck für y ein:

y = 4 - 2(27/19)/3

y = 4 - (2·27)/(3·19)

y = 4 - 54/57 = 4 - 18/19

y = (76 - 18)/19 = 58/19

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

x = 27/19 ≈ 1,42
y = 58/19 ≈ 3,05

Überprüfung:

Gleichung 1: 2·(27/19) + 3·(58/19) = 54/19 + 174/19 = 228/19 = 12 ✓
Gleichung 2: 5·(27/19) - 2·(58/19) = 135/19 - 116/19 = 19/19 = 1 ✓

Lösung mithilfe des Additionsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

2x + 3y = 12 Gleichung 1

5x - 2y = 1 Gleichung 2

Schritt 2: Wir manipulieren eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variablen betragsmäßig gleich sind, aber unterschiedliche Vorzeichen haben:

Für die Variable y: Wir multiplizieren Gleichung 1 mit 2 und Gleichung 2 mit 3:

2 · (2x + 3y = 12) → 4x + 6y = 24 Gleichung 1'

3 · (5x - 2y = 1) → 15x - 6y = 3 Gleichung 2'

Schritt 3: Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen. Dadurch fällt die Variable y weg:

4x + 6y = 24

15x - 6y = 3

4x + 15x + 6y - 6y = 24 + 3

19x = 27

x = 27/19

Schritt 4: Nun setzen wir den gefundenen Wert für x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. in Gleichung 1:

2x + 3y = 12

2 · (27/19) + 3y = 12

54/19 + 3y = 12

3y = 12 - 54/19 = (228 - 54)/19

3y = 174/19

y = 58/19

Lösung mit dem Additionsverfahren:

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

x = 27/19 ≈ 1,42
y = 58/19 ≈ 3,05

Überprüfung:

Gleichung 1: 2·(27/19) + 3·(58/19) = 54/19 + 174/19 = 228/19 = 12 ✓
Gleichung 2: 5·(27/19) - 2·(58/19) = 135/19 - 116/19 = 19/19 = 1 ✓