Gleichungssysteme mit 2 Variablen: Direktes Gleichungssystem

Schritt 2: Wir lösen beide Gleichungen nach einer Variablen auf, zum Beispiel nach y:

2x + 3y = 12

3y = 12 - 2x

y = (12 - 2x) / 3 = 4 - 2x/3 (aus Gleichung 1)

5x - 2y = 1

-2y = 1 - 5x

y = (5x - 1) / 2 (aus Gleichung 2)

Schritt 3: Wir setzen diese beiden Ausdrücke für y gleich:

4 - 2x/3 = (5x - 1) / 2

Schritt 4: Wir multiplizieren beide Seiten mit 6, um die Brüche zu beseitigen:

6 · (4 - 2x/3) = 6 · ((5x - 1) / 2)

24 - 4x = 3 · (5x - 1)

24 - 4x = 15x - 3

Schritt 5: Wir lösen nach x auf:

24 - 4x = 15x - 3

24 + 3 = 15x + 4x

27 = 19x

x = 27/19

Schritt 6: Wir setzen den Wert für x in eine der Gleichungen für y ein, z.B. in y = 4 - 2x/3:

y = 4 - 2·(27/19)/3

y = 4 - (2·27)/(3·19)

y = 4 - 54/57

y = 4 - 18/19

y = (76 - 18)/19 = 58/19

Schritt 2: Wir lösen eine der Gleichungen nach einer Variablen auf, z.B. Gleichung 1 nach y:

2x + 3y = 12

3y = 12 - 2x

y = (12 - 2x) / 3 = 4 - 2x/3

Schritt 3: Wir setzen diesen Ausdruck für y in die zweite Gleichung ein:

5x - 2(4 - 2x/3) = 1

5x - 8 + 4x/3 = 1

Schritt 4: Wir multiplizieren alle Terme mit 3, um den Bruch zu beseitigen:

15x - 24 + 4x = 3

19x - 24 = 3

19x = 27

x = 27/19

Schritt 5: Wir setzen den Wert für x in den Ausdruck für y ein:

y = 4 - 2(27/19)/3

y = 4 - (2·27)/(3·19)

y = 4 - 54/57

y = 4 - 18/19

y = (76 - 18)/19 = 58/19

Schritt 2: Wir manipulieren eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variablen betragsmäßig gleich sind, aber unterschiedliche Vorzeichen haben:

Für die Variable y: Wir multiplizieren Gleichung 1 mit 2 und Gleichung 2 mit 3:

2 · (2x + 3y = 12) → 4x + 6y = 24 (Gleichung 1')

3 · (5x - 2y = 1) → 15x - 6y = 3 (Gleichung 2')

Schritt 3: Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen. Dadurch fällt die Variable y weg:

4x + 6y = 24

15x - 6y = 3

4x + 15x + 6y - 6y = 24 + 3

19x = 27

x = 27/19

Schritt 4: Nun setzen wir den gefundenen Wert für x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. in Gleichung 1:

2x + 3y = 12

2 · (27/19) + 3y = 12

54/19 + 3y = 12

3y = 12 - 54/19

3y = (228 - 54)/19

3y = 174/19

y = 58/19