Altersaufgabe
Löse eine klassische Altersaufgabe mit Gleichungssystemen: Wie alt sind Mutter und Sohn heute?
Die Altersaufgabe
Eine Mutter ist heute 30 Jahre älter als ihr Sohn. In 5 Jahren wird sie doppelt so alt sein wie ihr Sohn. Wie alt sind Mutter und Sohn heute?
Schritt 1: Variablen festlegen
Zuerst müssen wir Variablen für die unbekannten Werte festlegen:
x = Das Alter des Sohnes heute (in Jahren)
y = Das Alter der Mutter heute (in Jahren)
Wir wollen das Alter von Mutter und Sohn bestimmen, daher definieren wir für beide eine eigene Variable.
Schritt 2: Gleichungen aufstellen
Nun stellen wir die Gleichungen basierend auf den gegebenen Informationen auf:
Erste Bedingung: "Eine Mutter ist heute 30 Jahre älter als ihr Sohn."
Das Alter der Mutter y ist 30 Jahre mehr als das Alter des Sohnes x.
Zweite Bedingung: "In 5 Jahren wird sie doppelt so alt sein wie ihr Sohn."
In 5 Jahren ist die Mutter (y + 5) Jahre alt und der Sohn (x + 5) Jahre alt. Die Mutter ist dann doppelt so alt wie der Sohn.
Gleichungssystem:
y = x + 30
y + 5 = 2(x + 5)
Schritt 3: Lösungsmethode wählen
Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:
Grafische Lösung
Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt. Dazu müssen wir die zweite Gleichung zuerst vereinfachen:
y + 5 = 2(x + 5)
y + 5 = 2x + 10
y = 2x + 5
y = x + 30 Gleichung 1
y = 2x + 5 Gleichung 2 vereinfacht
Lösung aus dem Graphen:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (25, 55).
Das bedeutet:
- Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
- Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.
Überprüfung:
- Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
- In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓
Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
y = x + 30 Gleichung 1
y + 5 = 2(x + 5) Gleichung 2
Schritt 2: Wir vereinfachen die zweite Gleichung:
y + 5 = 2(x + 5)
y + 5 = 2x + 10
y = 2x + 5
Schritt 3: Wir setzen beide Ausdrücke für y gleich:
x + 30 = 2x + 5
Schritt 4: Wir lösen nach x auf:
x + 30 = 2x + 5
x - 2x = 5 - 30
-x = -25
x = 25
Schritt 5: Wir setzen den Wert für x in die erste Gleichung ein, um y zu berechnen:
y = 25 + 30
y = 55
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:
Die Altersangaben sind:
- Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
- Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.
Überprüfung:
- Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
- In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓
Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
y = x + 30 Gleichung 1
y + 5 = 2(x + 5) Gleichung 2
Schritt 2: Die erste Gleichung gibt uns bereits y ausgedrückt durch x:
y = x + 30
Schritt 3: Wir setzen diesen Ausdruck für y in die zweite Gleichung ein:
(x + 30) + 5 = 2(x + 5)
x + 35 = 2x + 10
Schritt 4: Wir lösen nach x auf:
x + 35 = 2x + 10
x - 2x = 10 - 35
-x = -25
x = 25
Schritt 5: Wir setzen den Wert für x in die erste Gleichung ein, um y zu berechnen:
y = 25 + 30
y = 55
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:
Die Altersangaben sind:
- Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
- Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.
Überprüfung:
- Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
- In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓
Lösung mithilfe des Additionsverfahrens
Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:
y = x + 30 Gleichung 1
y + 5 = 2(x + 5) Gleichung 2
Schritt 2: Wir vereinfachen die zweite Gleichung und stellen beide so um, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen:
y - x = 30 Gleichung 1 umgestellt
y + 5 = 2x + 10
y - 2x = 5 Gleichung 2 umgestellt
Schritt 3: Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und subtrahieren die zweite Gleichung, um y zu eliminieren:
2y - 2x = 60 Gleichung 1 mit 2 multipliziert
y - 2x = 5 Gleichung 2 umgestellt
-----------------
y = 55
Schritt 4: Wir setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein, um x zu berechnen:
55 = x + 30
x = 25
Lösung mit dem Additionsverfahren:
Die Altersangaben sind:
- Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
- Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.
Überprüfung:
- Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
- In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓