Lagebeziehungen von Geraden
Vier Fälle, ein Schema – und was GeoGebra dazu sagt
Die Frage
Zwei Geraden sind durch ihre Gleichungen gegeben:
\[g: \vec x = \vec a + r \cdot \vec u, \qquad h: \vec x = \vec b + s \cdot \vec v\]Wie liegen sie zueinander? Alles hängt an einer einzigen Frage: Welche Punkte haben sie gemeinsam?
In der Ebene gibt es darauf drei Antworten: alle Punkte (identisch), keinen (echt parallel) oder genau einen (schneidend). Im Raum kommt eine vierte dazu. Zwei Geraden können in verschiedene Richtungen laufen und sich trotzdem verfehlen – sie sind dann windschief. Wie eine Straße und die Brücke darüber.
Die vier Fälle im Überblick
In allen vier Bildern ist \(g\) dieselbe Gerade; nur \(h\) wechselt. Ein Klick führt zur ausführlichen Rechnung.
Zwei Beschreibungen derselben Geraden. Jeder Punkt ist gemeinsam.
Gleiche Richtung, aber gegeneinander verschoben. Kein gemeinsamer Punkt.
Verschiedene Richtungen, genau ein gemeinsamer Punkt.
Verschiedene Richtungen, kein gemeinsamer Punkt. Gibt es nur im Raum.
| Lage | Richtungsvektoren | Gemeinsame Punkte | Gleichungssystem |
|---|---|---|---|
| identisch | Vielfache voneinander | alle | unendlich viele Lösungen |
| echt parallel | Vielfache voneinander | keiner | keine Lösung |
| schneidend | keine Vielfachen | genau einer | genau eine Lösung |
| windschief | keine Vielfachen | keiner | keine Lösung |
Lesen Sie die Tabelle von rechts nach links
„Keine Lösung“ kommt zweimal vor – bei echt parallel und bei windschief. Das Gleichungssystem allein kann diese beiden Fälle also gar nicht auseinanderhalten. Genau deshalb steht der Blick auf die Richtungsvektoren im Schema ganz vorn.
Das Schema: zwei Fragen genügen
Zwei Entscheidungen führen immer zum Ziel. Die erste Frage kostet nichts – man sieht sie den beiden Richtungsvektoren an. Erst die zweite Frage macht Arbeit, und welche Arbeit das ist, hängt von der ersten Antwort ab.
Drei Stolpersteine
- Der Faktor \(k\) muss für alle drei Zeilen derselbe sein. Zwei passende Zeilen genügen nicht.
- Bei parallelen Richtungen kein Gleichungssystem aufstellen. Es wäre entweder unlösbar oder unbestimmt – beides beantwortet die Frage nicht. Die Punktprobe ist schneller und eindeutig.
- Die dritte Zeile ist kein Beiwerk. Genau sie unterscheidet schneidend von windschief. Wer nach zwei Zeilen aufhört, findet Schnittpunkte, die es nicht gibt.
Die vier Fälle Schritt für Schritt
Blättern Sie mit Weiter und Zurück (oder den Pfeiltasten) durch die Rechnung. Zu jedem Schritt erscheint im Bild genau das, womit gerade gerechnet wird. Über dem Bild sehen Sie, an welcher Stelle des Schemas Sie stehen.
Alle vier Beispiele benutzen dieselbe Gerade \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) – nur \(h\) wechselt.
So lesen Sie das Bild
- Gerade g
- Gerade h
- Hilfsweg der Punktprobe
- Lücke zwischen den Geraden
- Punkt zu einem Parameterwert
- Lot auf die Grundebene (zeigt die Höhe)
Fall 1: identisch
h hat einen anderen Stützpunkt und einen Richtungsvektor in Gegenrichtung – trotzdem ist es dieselbe Gerade.
Fall 2: echt parallel
Der Richtungsvektor von h ist das Doppelte von dem von g – die Punktprobe entscheidet, ob das schon reicht.
Fall 3: schneidend
Hier führt das Gleichungssystem zum Ziel – und die Probe in der dritten Zeile geht auf.
Fall 4: windschief
Dieselbe Gerade h wie eben, nur um eine Einheit angehoben. Aus dem Schnittpunkt wird ein Beinahe-Treffen.
Zum Merken
- Richtungsvektoren vergleichen. Gibt es ein \(k\) mit \(\vec u = k \cdot \vec v\)? Der Faktor wird an einer Zeile abgelesen und in den beiden anderen geprüft.
- Parallel? Dann entscheidet die Punktprobe: Stützpunkt von \(h\) in \(g\) einsetzen. Geht sie auf → identisch, sonst → echt parallel.
- Nicht parallel? Dann gleichsetzen: zwei Zeilen nach \(r\) und \(s\) auflösen, die dritte als Probe. Probe erfüllt → schneidend (Schnittpunkt durch Einsetzen), Probe verletzt → windschief.
Übungen
Bestimmen Sie jeweils die Lage der beiden Geraden zueinander – und, wo es einen gibt, den Schnittpunkt. Gehen Sie nach dem Schema vor und notieren Sie, welchen Weg Sie genommen haben.
Aufgabe 1
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\qquad h: \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Aufgabe 2
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\qquad h: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\)
Aufgabe 3
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\qquad h: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Aufgabe 4
Dieselbe Gerade \(g\) wie in Aufgabe 3, aber \(h: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Aufgabe 5
Für welchen Wert von \(a\) schneiden sich \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ a \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)? Welche Lage haben sie für alle anderen \(a\)?
Aufgabe 6
Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren \(\vec u = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Begründen Sie, dass sie nicht windschief sein können – ohne die Stützpunkte zu kennen.
Das Gleichungssystem in GeoGebra
Das Aufstellen des Gleichungssystems nimmt einem kein Programm ab – das Lösen schon. Im CAS von GeoGebra gibt man die drei Zeilen als Liste ein und dazu, nach welchen Unbekannten gelöst werden soll:
Löse({2 + r = 2 + 2s, 2r = 5 - s, 1 + r = 2 + s}, {r, s})
Das ist Fall 3 von oben. Achten Sie auf das Multiplikationszeichen: 2r und
2 r versteht GeoGebra, 2*r ebenfalls. In der englischen
Oberfläche heißt der Befehl Solve.
Die Ausgabe deuten
GeoGebra gibt eine Liste von Lösungen aus. Drei Formen kommen vor:
| Ausgabe | Bedeutung | Lage der Geraden |
|---|---|---|
{{r = 2, s = 1}} |
genau ein Wertepaar erfüllt alle drei Zeilen | schneidend – \(r\) in \(g\) einsetzen ergibt den Schnittpunkt |
{} |
leere Liste: kein Wertepaar erfüllt alle drei Zeilen | echt parallel oder windschief – das entscheiden erst die Richtungsvektoren |
{{r = -s + 3, s = s}} |
unendlich viele Lösungen: \(s\) bleibt frei, \(r\) richtet sich danach | identisch |
Zwei Hinweise
- Die genaue Schreibweise der Ausgabe hängt von der GeoGebra-Version ab – entscheidend ist nur, wie viele Lösungen herauskommen: eine, keine oder unendlich viele.
- Bei der leeren Liste \(\{\}\) sind Sie noch nicht fertig. Schauen Sie auf die Richtungsvektoren: Sind sie Vielfache voneinander, heißt das Ergebnis echt parallel, sonst windschief. Das Programm ersetzt Frage 1 des Schemas nicht.
Probieren Sie es gleich hier aus. Tippen Sie den Befehl in die erste CAS-Zeile und drücken Sie die Eingabetaste. Ändern Sie danach eine Zahl – etwa die \(1\) in der dritten Zeile zu einer \(2\) – und sehen Sie, wie aus der Lösung die leere Liste wird.
Löse({2 + r = 2 + 2s, 2r = 5 - s, 1 + r = 3 + s}, {r, s})
Der windschiefe Fall 4 zum Vergleich – nur die dritte Zeile ist anders.
Löse({2 + r = 5 - s, 2r = 6 - 2s, 1 + r = 4 - s}, {r, s})
Und der identische Fall 1 – hier bleibt eine Unbekannte frei.
Deuten Sie die Ausgabe
Jedes Mal wurde derselbe Löse-Befehl für zwei Geraden benutzt.
Welche Lage gehört zur Ausgabe?
{{r = 4, s = -1}}
Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander.
{}
Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander.
{}
Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander.
{{r = -s + 3, s = s}}
Die Ausgabe enthält noch eine freie Unbekannte.
Geschafft
Sie können jetzt zu zwei Geradengleichungen sagen, wie die Geraden zueinander liegen – mit zwei Fragen und einer Probe, die man nicht vergessen darf. Der windschiefe Fall ist dabei der einzige, den es in der Ebene nicht gibt.