p(t)

e^−0,2t

δ(t)

Textaufgabe: Fischbestand im See

Modellierung mit Exponentialfunktionen, Ableitungen, Integration und Differenzfunktionen

Kontext: Erholung eines Fischbestands

Nach einer mehrjährigen Schutzperiode erholt sich der Fischbestand in einem See. Die Anzahl der Fische (in Tausend) zum Zeitpunkt \(t\) (in Wochen) wird durch die Funktion

Bestandsfunktion: \[p(t) = 80 - 72 \cdot e^{-0{,}2t}, \quad t \geq 0\]

Dabei gilt:

\(p(t)\): Fischbestand in Tausend Fischen zum Zeitpunkt \(t\)
\(t\): Zeit in Wochen seit Beginn der Erholungsphase (\(t \geq 0\))
\(e \approx 2{,}718\): Eulersche Zahl

Gleichzeitig steigt die wöchentliche Entnahmerate der Fischer mit \[w(t) = 4 \cdot e^{0{,}2t} \quad \text{(in Tausend Fischen pro Woche)}\]

Diese Aufgabe verbindet: Exponentialfunktionen, Ableitungen (Wachstumsgeschwindigkeit), unbestimmte Integration (Stammfunktion mit Anfangsbedingung), Differenzfunktionen (Extremwerte) und mathematische Beweise.

Visualisierung: Fischbestand p(t)

Der Graph zeigt die Entwicklung des Fischbestands über 15 Wochen mit ausgewählten Stützpunkten:

Beobachtung: Der Fischbestand wächst anfangs schnell und nähert sich dann asymptotisch der Kapazitätsgrenze von 80 000 Fischen. Zu Beginn (\(t = 0\)) sind erst 8 000 Fische vorhanden.

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Bestandsfunktion \(p(t) = 80 - 72 \cdot e^{-0{,}2t}\) (Fischbestand in Tausend, \(t\) in Wochen) sowie die Entnahmerate \(w(t) = 4 \cdot e^{0{,}2t}\).

Teilaufgabe a) Funktionswerte und Grenzwert

Berechne \(p(0)\), \(p(5)\) und \(p(15)\). Bestimme den Grenzwert \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} p(t)\) und interpretiere alle Ergebnisse im biologischen Kontext.

Teilaufgabe b) Wachstumsgeschwindigkeiten

Bestimme die Ableitung \(p'(t)\). Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit des Fischbestands und die Entnahmerate \(w(t)\) jeweils für \(t = 0\) und \(t = 8\). Stelle die Ergebnisse in einer Tabelle gegenüber und interpretiere sie.

Teilaufgabe c) Kumulative Entnahme

Bestimme eine Stammfunktion \(g(t)\) von \(w(t)\) mit der Anfangsbedingung \(g(0) = 4\). Berechne drei Wertepaare für \(g(t)\) und stelle \(p(t)\) und \(g(t)\) in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

Teilaufgabe d) Differenzfunktion und Extremwert

Bilde die Differenzfunktion \(\delta(t) = p(t) - g(t)\). Bestimme den Zeitpunkt \(t^*\), zu dem \(\delta(t)\) maximal ist. Berechne \(\delta(t^*)\) und überprüfe mithilfe eines Vorzeichenwechsels, dass tatsächlich ein Maximum vorliegt.

Teilaufgabe e) Mathematischer Beweis

Zeige allgemein: Wenn \(\delta(t)\) zum Zeitpunkt \(t^*\) ein Extremum hat (d.h. \(\delta'(t^*) = 0\)), dann gilt zwingend \(p'(t^*) = g'(t^*)\) bzw. \(p'(t^*) = w(t^*)\). Führe den Beweis rein algebraisch ohne Zahlenbeispiel.

Lösung zu Teilaufgabe a) – Funktionswerte und Grenzwert

Aufgabe: Berechne \(p(0)\), \(p(5)\) und \(p(15)\) sowie \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} p(t)\).

Lösung:

1. Funktionswerte:

\[\begin{align} p(0) &= 80 - 72 \cdot e^{0} = 80 - 72 \cdot 1 = 8 \\ p(5) &= 80 - 72 \cdot e^{-1} \approx 80 - 72 \cdot 0{,}3679 \approx 80 - 26{,}49 \approx 53{,}51 \\ p(15) &= 80 - 72 \cdot e^{-3} \approx 80 - 72 \cdot 0{,}0498 \approx 80 - 3{,}58 \approx 76{,}42 \end{align}\]

\(t\) (Wochen)	\(p(t)\) (Tausend Fische)
0	8
5	≈ 53,51
15	≈ 76,42

2. Grenzwert für \(t \to \infty\):

Da \(e^{-0{,}2t} \to 0\) für \(t \to \infty\), gilt:

\[\lim_{t \to \infty} p(t) = \lim_{t \to \infty} \left(80 - 72 \cdot e^{-0{,}2t}\right) = 80 - 72 \cdot 0 = 80\]

3. Biologische Interpretation:

\(p(0) = 8\): Zu Beginn der Erholungsphase sind erst 8 000 Fische vorhanden (stark überfischt).
\(p(5) \approx 53{,}51\): Nach 5 Wochen hat sich der Bestand auf ca. 53 500 Fische erholt.
\(p(15) \approx 76{,}42\): Nach 15 Wochen sind ca. 76 400 Fische vorhanden – nahe der Kapazitätsgrenze.
\(\lim_{t \to \infty} p(t) = 80\): Langfristig pendelt sich der Bestand bei 80 000 Fischen ein (Tragfähigkeit des Sees).

Lösung zu Teilaufgabe b) – Wachstumsgeschwindigkeiten

Aufgabe: Bestimme \(p'(t)\) und vergleiche mit \(w(t)\) für \(t = 0\) und \(t = 8\).

Lösung:

1. Ableitung von \(p(t)\) (Kettenregel):

\[p(t) = 80 - 72 \cdot e^{-0{,}2t}\] \[p'(t) = -72 \cdot \left(-0{,}2\right) \cdot e^{-0{,}2t} = 14{,}4 \cdot e^{-0{,}2t}\]

\(p'(t)\) gibt die natürliche Wachstumsgeschwindigkeit des Fischbestands in Tausend Fischen pro Woche an.

2. Wachstumsgeschwindigkeiten für \(t = 0\) und \(t = 8\):

Zum Zeitpunkt \(t = 0\):

\[\begin{align} p'(0) &= 14{,}4 \cdot e^{0} = 14{,}4 \quad \text{(Tausend Fische/Woche)} \\ w(0) &= 4 \cdot e^{0} = 4 \quad \text{(Tausend Fische/Woche)} \end{align}\]

Zum Zeitpunkt \(t = 8\):

\[\begin{align} p'(8) &= 14{,}4 \cdot e^{-1{,}6} \approx 14{,}4 \cdot 0{,}2019 \approx 2{,}91 \quad \text{(Tausend Fische/Woche)} \\ w(8) &= 4 \cdot e^{1{,}6} \approx 4 \cdot 4{,}953 \approx 19{,}81 \quad \text{(Tausend Fische/Woche)} \end{align}\]

3. Vergleichstabelle:

\(t\) (Wochen)	\(p'(t)\) = natürl. Wachstum	\(w(t)\) = Entnahmerate	Verhältnis
\(t = 0\)	14,4 Tsd./Woche	4 Tsd./Woche	Wachstum > Entnahme
\(t = 8\)	≈ 2,91 Tsd./Woche	≈ 19,81 Tsd./Woche	Entnahme > Wachstum

4. Interpretation:

Zu Beginn wächst der Bestand fast viermal schneller, als Fische entnommen werden.
Nach 8 Wochen übersteigt die Entnahmerate das natürliche Wachstum um mehr als das Sechsfache.
Dies zeigt: Bei der exponentiell steigenden Entnahme ist langfristiger Fischfang nicht nachhaltig.

Lösung zu Teilaufgabe c) – Kumulative Entnahme

Aufgabe: Bestimme \(g(t)\) mit \(g(0) = 4\) und stelle \(p(t)\) und \(g(t)\) gemeinsam dar.

\(t\) (Wochen)	\(g(t)\) (Tausend Fische)
\(t = 0\)	\(g(0) = 20 \cdot 1 - 16 = 4\)
\(t \approx 3{,}2\)	\(g(3{,}2) = 20 \cdot e^{0{,}64} - 16 \approx 20 \cdot 1{,}896 - 16 \approx 21{,}93\)
\(t = 5\)	\(g(5) = 20 \cdot e^{1} - 16 \approx 20 \cdot 2{,}718 - 16 \approx 38{,}37\)

Lösung zu Teilaufgabe d) – Differenzfunktion und Extremwert

Aufgabe: Bilde \(\delta(t) = p(t) - g(t)\) und bestimme das Maximum.

Lösung:

1. Differenzfunktion aufstellen:

\[\begin{align} \delta(t) &= p(t) - g(t) \\ &= \left(80 - 72 \cdot e^{-0{,}2t}\right) - \left(20 \cdot e^{0{,}2t} - 16\right) \\ &= 96 - 72 \cdot e^{-0{,}2t} - 20 \cdot e^{0{,}2t} \end{align}\]

2. Ableitung \(\delta'(t)\) bestimmen:

\[\delta'(t) = 72 \cdot 0{,}2 \cdot e^{-0{,}2t} - 20 \cdot 0{,}2 \cdot e^{0{,}2t} = 14{,}4 \cdot e^{-0{,}2t} - 4 \cdot e^{0{,}2t}\]

3. Notwendige Bedingung (\(\delta'(t^*) = 0\)):

\[14{,}4 \cdot e^{-0{,}2t} - 4 \cdot e^{0{,}2t} = 0\] \[14{,}4 \cdot e^{-0{,}2t} = 4 \cdot e^{0{,}2t} \quad \Big| \cdot e^{0{,}2t}\] \[14{,}4 = 4 \cdot e^{0{,}4t} \quad \Big| \div 4\] \[e^{0{,}4t} = 3{,}6 \quad \Big| \ln\] \[0{,}4t = \ln(3{,}6) \approx 1{,}2809\] \[t^* = \frac{\ln(3{,}6)}{0{,}4} \approx 3{,}2 \text{ Wochen}\]

4. Vorzeichenwechsel von \(\delta'(t)\) prüfen:

Intervall	Testpunkt	\(\delta'(t)\)	Monotonie
\(t < 3{,}2\)	\(t = 1\): \(\delta'(1) \approx 11{,}79 - 4{,}88 \approx +6{,}91\)	\(+\)	steigend
\(t > 3{,}2\)	\(t = 5\): \(\delta'(5) \approx 5{,}30 - 10{,}87 \approx -5{,}57\)	\(-\)	fallend

Da \(\delta'\) bei \(t^* \approx 3{,}2\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt, liegt ein Maximum vor.

5. Maximaler Wert \(\delta(t^*)\):

\[\begin{align} \delta(3{,}2) &= 96 - 72 \cdot e^{-0{,}64} - 20 \cdot e^{0{,}64} \\ &\approx 96 - 72 \cdot 0{,}5273 - 20 \cdot 1{,}8965 \\ &\approx 96 - 37{,}97 - 37{,}93 \\ &\approx 20{,}11 \end{align}\]

Ergebnis: Bei \(t^* \approx 3{,}2\) Wochen ist die Differenz zwischen Fischbestand und kumulativer Entnahme am größten. Zu diesem Zeitpunkt beträgt \(\delta(3{,}2) \approx 20{,}11\) Tausend Fische.

6. Grafische Darstellung von \(\delta(t)\):

Lösung zu Teilaufgabe e) – Mathematischer Beweis

Aufgabe: Beweise allgemein: \(\delta'(t^*) = 0 \Rightarrow p'(t^*) = w(t^*)\).

Wichtige Erkenntnisse

Anfangsbestand: \(p(0) = 8\) (Tausend Fische)
Kapazitätsgrenze: \(\lim_{t \to \infty} p(t) = 80\) (Tausend)
Wachstumsrate: \(p'(t) = 14{,}4 \cdot e^{-0{,}2t}\) (abnehmend)
Kumulative Entnahme: \(g(t) = 20 \cdot e^{0{,}2t} - 16\) (zunehmend)
Max. Differenz: Bei \(t^* \approx 3{,}2\) Wochen, \(\delta \approx 20{,}11\)
Beweis: Am Extremum gilt stets \(p'(t^*) = w(t^*)\)

Mathematische Methoden

Exponentialfunktionen: Grenzwertberechnung, Funktionswerte
Kettenregel: Ableitung von \(e^{-0{,}2t}\) und \(e^{0{,}2t}\)
Unbestimmte Integration: Stammfunktion mit Anfangsbedingung
Differenzfunktionen: Extremwertbestimmung
Logarithmusgesetze: Gleichung \(e^{0{,}4t} = 3{,}6\) lösen
Algebraischer Beweis: Allgemeines Argument ohne Zahlenbeispiel

Textaufgabe: Fischbestand im See

Kontext: Erholung eines Fischbestands

Visualisierung: Fischbestand p(t)

Aufgabenstellung

Lösung zu Teilaufgabe a) – Funktionswerte und Grenzwert

1. Funktionswerte:

2. Grenzwert für \(t \to \infty\):

3. Biologische Interpretation:

Lösung zu Teilaufgabe b) – Wachstumsgeschwindigkeiten

1. Ableitung von \(p(t)\) (Kettenregel):

2. Wachstumsgeschwindigkeiten für \(t = 0\) und \(t = 8\):

3. Vergleichstabelle:

4. Interpretation:

Lösung zu Teilaufgabe c) – Kumulative Entnahme

1. Stammfunktion von \(w(t) = 4 \cdot e^{0{,}2t}\):

2. Anfangsbedingung \(g(0) = 4\) anwenden:

3. Ergebnis:

4. Drei Wertepaare:

5. Gemeinsame Darstellung von \(p(t)\) und \(g(t)\):

Lösung zu Teilaufgabe d) – Differenzfunktion und Extremwert

1. Differenzfunktion aufstellen:

2. Ableitung \(\delta'(t)\) bestimmen:

3. Notwendige Bedingung (\(\delta'(t^*) = 0\)):

4. Vorzeichenwechsel von \(\delta'(t)\) prüfen:

5. Maximaler Wert \(\delta(t^*)\):

6. Grafische Darstellung von \(\delta(t)\):

Lösung zu Teilaufgabe e) – Mathematischer Beweis

Voraussetzung:

Beweis:

Wichtige Erkenntnisse

Mathematische Methoden