V
π
∫

Rotationskörper

Lerne, wie man das Volumen von Körpern berechnet, die durch Rotation einer Funktion um eine Koordinatenachse entstehen

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Was ist ein Rotationskörper?

Wenn man die Fläche unter einem Funktionsgraphen um eine Koordinatenachse dreht, entsteht ein dreidimensionaler Körper – ein Rotationskörper. Je nach Funktion und Achse entstehen dabei ganz unterschiedliche Formen.

Alltagsbeispiele

  • Vase – geschwungener Umriss um Mittelachse
  • Weinglas – schmale Taille, breite Öffnung
  • Fass – symmetrische Ausbauchung in der Mitte
  • Leuchtturm – konvexes Profil um eine Achse
  • Turbinenschaufel – technisches Profil rotiert

Rotation um x-Achse vs. y-Achse

Rotation um Formel
x-Achse \(\displaystyle V = \pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x\)
y-Achse \(\displaystyle V = \pi \cdot \int_c^d \left[f^{-1}(y)\right]^2 \, \text{d}y\)

Dieselbe Funktion und dasselbe Intervall liefern je nach Achse verschiedene Körper!

Herleitung der Volumenformel

Wie kommt die Formel \(V = \pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x\) zustande? Das Herzstück ist die Scheibenmethode.

Annäherung durch Zylinderscheiben

Das Integral als Grenzwert von Riemann-Summen kennst du bereits. Genau dasselbe Prinzip steckt hinter dem Rotationsvolumen – nur tritt an die Stelle der Rechtecksfläche das Volumen einer Zylinderscheibe.

Flächeninhalt (bekannt)

Schritt 1: Ein Rechteck

Breite \(\Delta x\), Höhe \(f(x_i)\)

\[ A_i = f(x_i) \cdot \Delta x \]
alle \(n\) Rechtecke summieren
Schritt 2: Riemann-Summe
\[ A_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x \]
\(\Delta x \to \text{d}x\), \(\textstyle\sum \to \int\)
Schritt 3: Grenzübergang \(n \to \infty\)
\[ A = \int_a^b f(x) \, \text{d}x \]

Rotationsvolumen (neu)

Schritt 1: Eine Zylinderscheibe

Radius \(r_i = f(x_i)\), Dicke \(h = \Delta x\)

\[ V_i = \pi \cdot r_i^2 \cdot h = \pi \cdot \left[f(x_i)\right]^2 \cdot \Delta x \]
alle \(n\) Scheiben summieren
Schritt 2: Riemann-Summe
\[ V_n = \pi \cdot \sum_{i=0}^{n-1} \left[f(x_i)\right]^2 \cdot \Delta x \]
\(\Delta x \to \text{d}x\), \(\textstyle\sum \to \int\)
Schritt 3: Grenzübergang \(n \to \infty\)
\[ V = \pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x \]
Der Schlüssel: Ersetze \(f(x_i)\) durch \(\pi \cdot \left[f(x_i)\right]^2\) – aus der Rechtecksfläche \(f(x_i) \cdot \Delta x\) wird das Scheibenvolumen \(\pi \cdot \left[f(x_i)\right]^2 \cdot \Delta x\). Der Grenzübergang funktioniert genauso!

Wie gut die Annäherung durch \(n\) Scheiben ist, siehst du unten interaktiv. Je größer \(n\), desto genauer – und desto näher kommt die Summe am exakten Integral.

Beispiel: \(f(x) = \sqrt{x}\) auf \([0;\,4]\)  →  Exaktes Volumen: \(V = \pi \cdot \int_0^4 \left[\sqrt{x}\right]^2 \, \text{d}x = \pi \cdot \int_0^4 x \, \text{d}x = \pi \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi\)
Näherungswert \(V_n\)
–
Exakter Wert \(8\pi\)
25.1327
Absoluter Fehler
–

2D: Rechtecksnäherung

3D: Zylinderscheiben

Im Grenzübergang \(n \to \infty\) und \(\Delta x \to 0\) wird die Summe \(\pi \cdot \sum_{i} \left[f(x_i)\right]^2 \cdot \Delta x\) zum Integral \(\pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x\).

Formale Herleitung – Rotation um die x-Achse

Schritt 1: Volumen einer einzelnen Scheibe

Eine Zylinderscheibe an der Stelle \(x_i\) hat:

  • Radius: \(r_i = f(x_i)\)
  • Dicke: \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)
  • Kreisfläche: \(A_i = \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot \left[f(x_i)\right]^2\)
  • Scheibenvolumen: \(\Delta V_i = A_i \cdot \Delta x = \pi \cdot \left[f(x_i)\right]^2 \cdot \Delta x\)

Schritt 2: Alle n Scheiben summieren

\[ V_n = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta V_i = \pi \cdot \sum_{i=0}^{n-1} \left[f(x_i)\right]^2 \cdot \Delta x \]

Dies ist eine Riemann-Summe für \(\pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x\).

Schritt 3: Grenzübergang n → ∞

Je dünner die Scheiben (\(\Delta x \to 0\), \(n \to \infty\)), desto exakter:

\[ V = \lim_{n \to \infty} V_n = \pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x \]
Merke: Das \(\pi\) kommt aus der Kreisflächenformel \(A = \pi \cdot r^2\). Das Integral summiert unendlich viele, unendlich dünne Kreisscheiben.

Rotation um die y-Achse

Bei Rotation um die y-Achse zeigen die Scheiben senkrecht zur y-Achse. Der Radius einer Scheibe bei der Höhe \(y\) ist der zugehörige \(x\)-Wert der Kurve.

Umkehrfunktion bilden

Aus \(y = f(x)\) lösen wir nach \(x\) auf:

\[ x = f^{-1}(y) \]

Der Scheibenradius bei der Höhe \(y\) ist \(r = f^{-1}(y)\). Die neuen Integrationsgrenzen sind \(c = f(a)\) und \(d = f(b)\):

\[ V = \pi \cdot \int_c^d \left[f^{-1}(y)\right]^2 \, \text{d}y \]

Beispiel: Umkehrfunktion bilden

Gegeben: \(f(x) = x^2\) auf \([0;\,2]\)
\[ \begin{align} y &= x^2 \\ \sqrt{y} &= x \qquad (x \geq 0) \\ x &= \sqrt{y} = f^{-1}(y) \end{align} \]

Neue Grenzen: \(c = f(0) = 0\), \(d = f(2) = 4\)

Wichtig: Die Umkehrfunktion existiert nur, wenn \(f\) auf \([a;\,b]\) streng monoton ist (keine Extremstellen im Inneren des Intervalls).

Beide Formeln auf einen Blick

Rotation um die x-Achse

\[ V = \pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x \]
  • \(a,\,b\): Grenzen auf der x-Achse
  • \(f(x)\): Scheibenradius bei \(x\)
  • Scheiben stehen senkrecht zur x-Achse

Rotation um die y-Achse

\[ V = \pi \cdot \int_c^d \left[f^{-1}(y)\right]^2 \, \text{d}y \]
  • \(c = f(a)\), \(d = f(b)\): neue Grenzen
  • \(f^{-1}(y)\): Scheibenradius bei Höhe \(y\)
  • Scheiben stehen senkrecht zur y-Achse
Häufiger Fehler: \(\pi \cdot \int_a^b \left[f(x)\right]^2 \, \text{d}x \;\neq\; \pi \cdot \left[\int_a^b f(x) \, \text{d}x\right]^2\) – Das Quadrat steht innerhalb des Integrals!

Der fertige Körper – Interaktiver 3D-Explorer

Wähle eine Funktion, eine Rotationsachse und Integrationsgrenzen. Das Volumen wird live berechnet.

Ergebnis

Funktion \(f(x) = \sqrt{x}\)
Grenzen [0; 4]
Achse x-Achse
Volumen
–
–
Numerische Berechnung mit der Simpsonregel.

Strategie: Wie berechne ich ein Rotationsvolumen?

Bevor du die Übungen machst – so gehst du bei Rotationskörperaufgaben vor:

Achse bestimmen

  • x-Achse: Formel direkt anwenden
  • y-Achse: Umkehrfunktion bilden → Schritt 3

Grenzen bestimmen

  • Oft direkt gegeben – sonst: Nullstellen/Schnittpunkte
  • Bei y-Achse: \(c = f(a)\) und \(d = f(b)\) berechnen

Umkehrfunktion bilden (nur y-Achse)

Löse \(y = f(x)\) nach \(x\) auf:

\[ x = f^{-1}(y) \]

Prüfe: Ist \(f\) auf \([a;\,b]\) streng monoton?

\([f(x)]^2\) sauber quadrieren

Stolperstein – binomische Formeln nutzen:

  • \((a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\)
  • \((a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2\)
  • Niemals \([f(x)]^2 = f(x^2)\)!

Integrieren und \(\pi\) multiplizieren

\[ V = \pi \cdot \left[F(x)\right]_a^b = \pi \cdot \left(F(b) - F(a)\right) \]

Tipp: \(\pi\) immer vor das Integral ziehen – so trägt man es nicht durch die gesamte Rechnung.

Ausführliche Beispiele

Beispiel 1: Kegel – \(f(x) = \frac{1}{2} \cdot x\) auf \([0;\,6]\), Rotation um x-Achse

\[ \begin{align} V &= \pi \cdot \int_0^6 \left[\frac{1}{2} \cdot x\right]^2 \, \text{d}x = \pi \cdot \int_0^6 \frac{x^2}{4} \, \text{d}x \\[6pt] &= \frac{\pi}{4} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^6 = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{216}{3} = \frac{\pi}{4} \cdot 72 = 18\pi \approx 56{,}55 \end{align} \]
Kontrolle (Kegelformel): \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\) mit \(r = f(6) = 3\) und \(h = 6\): \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 6 = 18\pi\) ✓

Beispiel 2: Paraboloid – \(f(x) = \sqrt{x}\) auf \([0;\,4]\), Rotation um x-Achse

\[ \begin{align} \left[\sqrt{x}\right]^2 &= x \\[4pt] V &= \pi \cdot \int_0^4 x \, \text{d}x = \pi \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 \\ &= \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25{,}13 \end{align} \]

Beispiel 3: \(f(x) = x^2\) auf \([0;\,2]\), Rotation um y-Achse

\[ \begin{align} y &= x^2 \;\Rightarrow\; f^{-1}(y) = \sqrt{y} \\ c &= f(0) = 0, \quad d = f(2) = 4 \\[4pt] V &= \pi \cdot \int_0^4 \left[\sqrt{y}\right]^2 \, \text{d}y = \pi \cdot \int_0^4 y \, \text{d}y \\ &= \pi \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \approx 25{,}13 \end{align} \]

Beispiel 4: Vase – \(f(x) = 0{,}5 \cdot x + 1\) auf \([0;\,6]\) (alle Maße in cm), Rotation um x-Achse

Bei \(x = 0\): \(r = 1\,\text{cm}\) (Boden), bei \(x = 6\): \(r = 4\,\text{cm}\) (Öffnung) – ein trichterförmiger Behälter.

\[ \begin{align} \left[0{,}5 \cdot x + 1\right]^2 &= \left(0{,}5 \cdot x\right)^2 + 2 \cdot 0{,}5 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = 0{,}25 \cdot x^2 + x + 1 \\[6pt] V &= \pi \cdot \int_0^6 \left(0{,}25 \cdot x^2 + x + 1\right) \text{d}x \\ &= \pi \cdot \left[\frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x\right]_0^6 \\ &= \pi \cdot \left(\frac{216}{12} + \frac{36}{2} + 6\right) \\ &= \pi \cdot (18 + 18 + 6) = 42\pi \approx 131{,}9\,\text{cm}^3 = 131{,}9\,\text{ml} \end{align} \]

Übungen

Berechne das Rotationsvolumen. Klicke auf „Lösung anzeigen", um den vollständigen Rechenweg zu sehen.

Übung 1: \(f(x) = 2 \cdot x\) auf \([0;\,3]\), x-Achse

Übung 2: \(f(x) = x^2\) auf \([0;\,2]\), x-Achse

Übung 3: \(f(x) = \sqrt{2 \cdot x}\) auf \([0;\,2]\), x-Achse

Übung 4: \(f(x) = e^x\) auf \([0;\,1]\), x-Achse

Übung 5: \(f(x) = x^2\) auf \([1;\,2]\), y-Achse Umkehrfunktion!

Übung 6 (Anwendung): Ein Designer-Glas entsteht durch Rotation von \(f(x) = \sqrt{x}\) auf \([0;\,9]\) um die x-Achse (Maße in cm). Berechne das Fassungsvermögen in ml.

Was du können solltest

  • Formel für Rotation um x-Achse und y-Achse kennen
  • Umkehrfunktion bilden (bei Rotation um y-Achse)
  • \([f(x)]^2\) sauber ausrechnen (binomische Formeln!)
  • \(\pi\) vor das Integral ziehen und am Ende nicht vergessen
  • Integrationsgrenzen bei y-Achse korrekt transformieren
  • Ergebnis mit Kegelformel oder Zylinderformel kontrollieren

Häufige Fehler

  • \(\pi \cdot \int [f(x)]^2\,\text{d}x \neq \pi \cdot \left[\int f(x)\,\text{d}x\right]^2\) – Quadrat innen!
  • \([f(x)]^2\) falsch expandiert (z.B. \((x+1)^2 \neq x^2+1\))
  • \(\pi\) vergessen zu multiplizieren
  • Grenzen bei y-Achse nicht auf y-Skala transformiert
  • Umkehrfunktion falsch gebildet
Ausblick: Liegen zwei Funktionen \(f(x) > g(x)\) vor, entsteht ein Hohlkörper. Das Volumen ergibt sich durch Subtraktion: \(V = \pi \cdot \int_a^b \left(\left[f(x)\right]^2 - \left[g(x)\right]^2\right)\text{d}x\).

GeoGebra: Eigene Rotationskörper erkunden

Verändere die Funktion direkt im Applet und beobachte, welcher Rotationskörper entsteht. Über die Algebra-Leiste (linke Seite im Applet) kannst du die Funktion doppelklicken und anpassen – probiere zum Beispiel \(f(x) = x^2\) oder \(f(x) = \sin(x)\).