Textaufgabe: Schallintensität und Entfernung

1. Maximaler Definitionsbereich:

Der natürliche Logarithmus \(\ln(x+1)\) ist nur definiert für \(x + 1 > 0\), also \(x > -1\).

Der Faktor \(e^{-0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert.

\[D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -1\} = (-1;\, \infty)\]

Im Sachkontext ist nur \(x \geq 0\) sinnvoll, da die Entfernung nicht negativ sein kann.

2. Schallintensität direkt am Lautsprecher (\(x = 0\)):

Setze \(x = 0\) in die Funktion ein:

\[L_a(0) = a \cdot \ln(0+1) \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0} = a \cdot \ln(1) \cdot e^0 = a \cdot 0 \cdot 1 = 0\]

Interpretation: Direkt am Lautsprecher (\(x = 0\)) beträgt die modellierte Intensität 0. Der Schall muss sich erst ausbreiten, bevor er wahrgenommen werden kann.

3. Grenzwert für \(x \to \infty\):

Betrachte das Verhalten für große Werte von \(x\):

\[\lim_{x \to \infty} L_a(x) = \lim_{x \to \infty} \left( a \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} \right)\]

Hier konkurrieren zwei Tendenzen:

• Der Term \(\ln(x+1)\) wächst logarithmisch (langsam) mit \(x\)
• Der Term \(e^{-0{,}5x}\) fällt exponentiell (schnell) gegen 0

Wichtig: Die Exponentialfunktion dominiert stets über den Logarithmus! Das bedeutet: Der Faktor \(e^{-0{,}5x}\) wird für große \(x\) so schnell klein, dass das Produkt gegen 0 konvergiert.

Alternativ mit L'Hospital (Umformung zu „\(\frac{\infty}{\infty}\)"):

\[\lim_{x \to \infty} \frac{a \cdot \ln(x+1)}{e^{0{,}5x}} \stackrel{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{x+1}}{0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2a}{(x+1) \cdot e^{0{,}5x}} = 0\]

Interpretation: In großer Entfernung ist der Lautsprecher nicht mehr zu hören – die Schallintensität geht gegen 0.

1. Erste Ableitung bilden:

Mit der Produktregel \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) und Kettenregel:

\[L_a(x) = a \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x}\]

Setze \(u = \ln(x+1)\) und \(v = e^{-0{,}5x}\):

• \(u' = \dfrac{1}{x+1}\)
• \(v' = -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\)

\[\begin{align} L'_a(x) &= a \cdot \left[ \frac{1}{x+1} \cdot e^{-0{,}5x} + \ln(x+1) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x} \right] \\ &= a \cdot e^{-0{,}5x} \cdot \left( \frac{1}{x+1} - 0{,}5 \cdot \ln(x+1) \right) \end{align}\]

2. Notwendige Bedingung (\(L'_a(x) = 0\)):

\[a \cdot e^{-0{,}5x} \cdot \left( \frac{1}{x+1} - 0{,}5 \cdot \ln(x+1) \right) = 0\]

Da \(a > 0\) und \(e^{-0{,}5x} > 0\) für alle \(x\), muss gelten:

\[\frac{1}{x+1} = 0{,}5 \cdot \ln(x+1)\]

Numerische Lösung:

\[x_{\text{max}} \approx 1{,}346 \text{ m}\]

3. Hinreichende Bedingung (Zweite Ableitung):

Die zweite Ableitung ist aufwendig zu berechnen. Wir prüfen numerisch mit GeoGebra:

\[L''_a(1{,}346) \approx -0{,}201 \cdot a < 0\]

Da \(L''_a(1{,}346) < 0\): Bei \(x \approx 1{,}346\) liegt ein Maximum.

4. Maximale Intensität:

\[L_a(1{,}346) = a \cdot \ln(2{,}346) \cdot e^{-0{,}5 \cdot 1{,}346} \approx 0{,}435 \cdot a\]

5. Interpretation:

• Das Maximum wird unabhängig von \(a\) bei ca. \(x \approx 1{,}35\) Metern erreicht.
• Die maximale Intensität beträgt etwa \(0{,}435 \cdot a\) und hängt linear von der Leistung ab.
• Verdopplung der Lautsprecherleistung verdoppelt die maximale Intensität.
• Für optimalen Klang sollte man sich etwa 1,3 bis 1,4 Meter vom Lautsprecher entfernt aufstellen.

1. Gleichung aufstellen:

Für \(a = 2\) lautet die Funktion:

\[L_2(x) = 2 \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x}\]

Gesucht sind die Entfernungen, an denen \(L_2(x) = 0{,}3\):

\[2 \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} = 0{,}3\]

Division durch 2:

\[\ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} = 0{,}15\]

2. Lösung der Gleichung:

Diese Gleichung lässt sich nicht analytisch lösen, da \(x\) sowohl im Logarithmus als auch im Exponenten vorkommt. Wir verwenden eine grafische oder numerische Methode.

3. Numerisches Ergebnis:

Die Schnittpunkte liegen bei:

• \(x_1 \approx 0{,}178\) m (ca. 18 cm)
• \(x_2 \approx 4{,}952\) m (ca. 4 m 95 cm)

4. Hörbarkeitsbereich:

\[\Delta x = x_2 - x_1 \approx 4{,}952 - 0{,}178 = 4{,}774 \text{ m}\]

5. Interpretation:

Der Lautsprecher ist in einem Bereich von etwa 4,8 Metern Breite gut hörbar (von ca. 18 cm bis ca. 5 Meter Entfernung). Näher als 18 cm und weiter als 5 Meter sinkt die Intensität unter den Schwellenwert von 0,3 Einheiten.

1. Integral aufstellen:

Die Fläche entspricht dem bestimmten Integral:

\[A = \int_0^6 L_2(x) \, \text{d}x = \int_0^6 2 \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} \, \text{d}x\]

2. Ansatz: Partielle Integration:

Verwende die Formel: \(\int u \cdot v' \, \text{d}x = u \cdot v - \int u' \cdot v \, \text{d}x\)

Wähle:

• \(u = \ln(x+1)\) \(\Rightarrow\) \(u' = \dfrac{1}{x+1}\)
• \(v' = e^{-0{,}5x}\) \(\Rightarrow\) \(v = -2 \cdot e^{-0{,}5x}\)

\[\begin{align} \int \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} \, \text{d}x &= \ln(x+1) \cdot \left(-2\, e^{-0{,}5x}\right) - \int \frac{1}{x+1} \cdot \left(-2\, e^{-0{,}5x}\right) \text{d}x \\ &= -2 \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} + 2 \int \frac{e^{-0{,}5x}}{x+1} \, \text{d}x \end{align}\]

3. Numerische Berechnung mit GeoGebra:

Mit dem GeoGebra-Befehl Integral(L2(x), 0, 6) erhalten wir:

\[A = \int_0^6 2 \cdot \ln(x+1) \cdot e^{-0{,}5x} \, \text{d}x \approx 3{,}258 \text{ Einheiten·m}\]

4. Visualisierung der Fläche:

5. Interpretation (Sachkontext):

Die Fläche von ca. 3,258 Einheiten·m ist ein Maß für die Gesamtbeschallung im Bereich von 0 bis 6 Metern. Sie gibt an, wie intensiv der Lautsprecher diesen Bereich insgesamt beschallt. Je größer der Wert, desto mehr Schallenergie wird in diesem Bereich wahrgenommen.