\(\ln(x)\)
\(f(x) = \ln(x)\)
\(e \approx 2{,}718\)

Logarithmusfunktionen

Vollständige Kurvendiskussion von Logarithmusfunktionen

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Was ist die Logarithmusfunktion?

Die natürliche Logarithmusfunktion \(f(x) = \ln(x)\) ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion \(y = e^x\).

Definition und Bedeutung

Die natürliche Exponentialfunktion ordnet jedem \(x\) den Funktionswert \(y = e^x\) zu. Sie ist streng monoton steigend und daher umkehrbar. Durch den natürlichen Logarithmus kann man dem Funktionswert \(y\) wieder den Ausgangswert \(x\) zuordnen, denn es gilt:

\[ \ln(y) = \ln(e^x) = x \]

Die natürliche Logarithmusfunktion \(f\) mit \(f(x) = \ln(x)\) ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion mit \(y = e^x\). Da \(e^x\) für alle \(x\) positiv ist, ist \(f\) nur für \(x > 0\) definiert.

Beziehung zwischen \(e^x\) und \(\ln(x)\)

Die beiden Funktionen sind inverse Funktionen zueinander:

\[ \ln(e^x) = x \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R} \] \[ e^{\ln(x)} = x \quad \text{für alle } x > 0 \]

Grafische Darstellung: Spiegelung an der Winkelhalbierenden

Der Graph von \(f(x) = \ln(x)\) entsteht durch Spiegelung des Graphen zu \(y = e^x\) an der 1. Winkelhalbierenden (\(y = x\)).

Eigenschaften von \(f(x) = \ln(x)\)

Die natürliche Logarithmusfunktion hat charakteristische Eigenschaften, die sie von der Exponentialfunktion unterscheiden:

Definitionsbereich

\[ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{>0} = (0; \infty) \]

Die Logarithmusfunktion ist nur für positive x-Werte definiert. Die y-Achse (\(x = 0\)) ist eine senkrechte Asymptote.

Wertebereich

\[ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} = (-\infty; \infty) \]

Die Funktionswerte können alle reellen Zahlen annehmen.

Besondere Punkte

Der Graph verläuft durch die charakteristischen Punkte:

  • \((1|0)\): \(\ln(1) = 0\), da \(e^0 = 1\)
  • \((e|1)\): \(\ln(e) = 1\), da \(e^1 = e\)

Monotonie

Der Graph steigt im gesamten Definitionsbereich streng monoton:

\[ \text{Für alle } x_1, x_2 \in \mathbb{R}^{>0} \text{ mit } x_1 < x_2 \text{ gilt: } \ln(x_1) < \ln(x_2) \]

Grenzwerte (Globalverhalten)

Verhalten für \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty \]

Die Funktion wächst unbegrenzt, aber langsamer als jede Potenzfunktion.

Verhalten für \(x \to 0\) mit \(x > 0\):

\[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \]

Die y-Achse (\(x = 0\)) ist eine senkrechte Asymptote.

Logarithmusgesetze (Rechenregeln)

Analog zu den Potenzgesetzen bei Exponentialfunktionen gelten für den natürlichen Logarithmus wichtige Rechenregeln für \(a, c > 0\):

Produktregel

\[ \ln(a \cdot c) = \ln(a) + \ln(c) \]

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen.

Quotientenregel

\[ \ln\left(\frac{a}{c}\right) = \ln(a) - \ln(c) \]

Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen.

Potenzregel

\[ \ln(a^r) = r \cdot \ln(a) \]

Der Logarithmus einer Potenz ist das Produkt aus Exponent und Logarithmus der Basis.

Spezielle Werte

\[ \ln(1) = 0 \qquad \ln(e) = 1 \]

Beispiele zur Anwendung der Logarithmusgesetze

Beispiel 1: Vereinfachen Sie: \(\ln(8) + \ln(2)\)
\[ \ln(8) + \ln(2) = \ln(8 \cdot 2) = \ln(16) \]
Beispiel 2: Vereinfachen Sie: \(\ln(x^3) - \ln(x)\)
\[ \ln(x^3) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x^3}{x}\right) = \ln(x^2) = 2\ln(x) \]
Beispiel 3: Lösen Sie die Gleichung: \(\ln(x) = 1\)
\[ \begin{align} \ln(x) &= 1 \\ e^{\ln(x)} &= e^1 \\ x &= e \end{align} \]
Beispiel 4: Lösen Sie die Gleichung: \(\ln(2x) = -0{,}8\)
\[ \begin{align} \ln(2x) &= -0{,}8 \\ e^{\ln(2x)} &= e^{-0{,}8} \\ 2x &= e^{-0{,}8} \\ x &= \frac{e^{-0{,}8}}{2} \approx 0{,}225 \end{align} \]

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Herleitung der Ableitungsformel

Leitet man beide Seiten der Gleichung \(e^{\ln(x)} = x\) ab und wendet auf der linken Seite die Kettenregel an, erhält man die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion.

Ansatz: \(e^{\ln(x)} = x\)

Beide Seiten ableiten:

\[ \begin{align} \frac{d}{dx}\left[e^{\ln(x)}\right] &= \frac{d}{dx}[x] \\ e^{\ln(x)} \cdot [\ln(x)]' &= 1 \quad \text{(Kettenregel links)}\\ x \cdot [\ln(x)]' &= 1 \quad \text{(da } e^{\ln(x)} = x\text{)}\\ [\ln(x)]' &= \frac{1}{x} \end{align} \]

Satz: Ableitung zu \(f(x) = \ln(x)\)

Die natürliche Logarithmusfunktion \(f\) mit \(f(x) = \ln(x)\) und \(x > 0\) hat die Ableitung:

\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]

Wichtig: Die Ableitung ist nur für \(x > 0\) definiert (wie die Funktion selbst).

Eigenschaften der Ableitung

  • Die Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{x}\) ist immer positiv für \(x > 0\)
  • Deshalb ist \(\ln(x)\) streng monoton steigend
  • Die Steigung wird kleiner, je größer \(x\) wird (Wachstum verlangsamt sich)
  • Für \(x \to 0^+\): \(f'(x) \to \infty\) (sehr steiler Anstieg nahe der y-Achse)
  • Für \(x \to \infty\): \(f'(x) \to 0\) (flacher Verlauf für große \(x\))

Kettenregel für \(\ln(u(x))\)

Wenn die Logarithmusfunktion mit einer inneren Funktion \(u(x)\) verkettet ist, wendet man die Kettenregel an:

\[ [f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x) \]

Für \(f(x) = \ln(x)\) ergibt sich:

\[ [\ln(u(x))]' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
Merke: Die Ableitung von \(\ln(u(x))\) ist \(\frac{u'(x)}{u(x)}\).

Beispiele zur Ableitung

Beispiel 1: \(f(x) = \ln(5x + 3)\)

\(u(x) = 5x + 3, \quad u'(x) = 5\)

\[ f'(x) = \frac{5}{5x + 3} \]
Beispiel 2: \(f(x) = x^2 \cdot \ln(x)\)

Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)

\[ f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot \ln(x) + x \]
Beispiel 3: \(f(x) = \ln(x^3 + 2x)\)

\(u(x) = x^3 + 2x, \quad u'(x) = 3x^2 + 2\)

\[ f'(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x} \]
Beispiel 4: \(f(x) = (\ln(x))^2\)

Kettenregel: \(u(x) = \ln(x), \quad u'(x) = \frac{1}{x}\)

\[ f'(x) = 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]

Transformationen von Logarithmusfunktionen

Durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung der Grundfunktion \(f(x) = \ln(x)\) entstehen neue Funktionen mit unterschiedlichen Eigenschaften.

Verschiebung in y-Richtung

\[ g(x) = \ln(x) + d \]

Verschiebung um \(d\) Einheiten nach oben (wenn \(d > 0\)) bzw. unten (wenn \(d < 0\)).
Beispiel: \(g(x) = \ln(x) + 2\) ist um 2 Einheiten nach oben verschoben.

Verschiebung in x-Richtung

\[ h(x) = \ln(x - c) \]

Verschiebung um \(c\) Einheiten nach rechts (wenn \(c > 0\)).
Wichtig: Definitionsbereich ändert sich zu \(\mathbb{D}_h = (c; \infty)\) und die senkrechte Asymptote verschiebt sich zu \(x = c\).

Streckung in y-Richtung

\[ k(x) = a \cdot \ln(x) \]

Streckung (wenn \(|a| > 1\)) bzw. Stauchung (wenn \(0 < |a| < 1\)) in y-Richtung.
Beispiel: \(k(x) = 2\ln(x)\) ist gestreckt.

Spiegelung an der x-Achse

\[ m(x) = -\ln(x) \]

Spiegelung an der x-Achse. Die Funktion ist dann monoton fallend statt steigend.

Grafische Darstellung verschiedener Transformationen

Tipp: Klicke auf die Legende, um einzelne Funktionen ein- oder auszublenden!

Vollständige Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion)

Eine vollständige Kurvendiskussion untersucht systematisch alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion. Bei Logarithmusfunktionen folgen wir diesem Schema:

Beispielfunktion: Wir untersuchen \(f(x) = x \cdot \ln(x)\)
Hinweis: Die folgende Kurvendiskussion ist als Musterbeispiel zu verstehen. Die genauen Rechnungen für diese spezielle Funktion findest du im GeoGebra-Applet weiter unten. Dort kannst du die notwendigen und hinreichenden Bedingungen nachvollziehen.

Zunächst verschaffen wir uns einen Überblick über den Funktionsverlauf:

Der Graph zeigt charakteristisches Verhalten mit einem Minimum bei \(x = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\), verläuft durch den Punkt \((1|0)\) und wächst für große \(x\) langsam an. Für \(x \to 0^+\) nähert sich der Graph dem Ursprung an.

Definitionsbereich:

Die Funktion \(f(x) = x \cdot \ln(x)\) enthält \(\ln(x)\), der nur für \(x > 0\) definiert ist:

\[ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{>0} = (0; \infty) \]

Wichtig: Der Definitionsbereich ist nach links begrenzt!

Wertebereich:

Für das Verhalten an den Rändern:

Für \(x \to 0^+\):

\[ \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} \]

Mit der Regel von de l'Hospital:

\[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]

Für \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln(x) = \infty \]

Die Funktion hat ein Minimum (wird unter Extrempunkte bestimmt). Daher:

\[ \mathbb{W}_f = \left[-\frac{1}{e}; \infty\right) \approx [-0{,}368; \infty) \]

Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse):

Ansatz: \(f(x) = 0\)

\[ \begin{align} x \cdot \ln(x) &= 0 \end{align} \]

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist:

Fall 1: \(x = 0\) (nicht im Definitionsbereich!)

Fall 2: \(\ln(x) = 0 \Rightarrow x = 1\)

Nullstelle: \(x = 1\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Ansatz: \(f(0)\)

Da \(0\) nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keinen y-Achsenabschnitt.

Jedoch: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\), der Graph nähert sich dem Ursprung an.

Verhalten für \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln(x) = \infty \]

Ergebnis: Der Graph wächst unbegrenzt für große \(x\), aber langsamer als jede Potenzfunktion \(x^a\) mit \(a > 1\).

Verhalten für \(x \to 0^+\):

\[ \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x) = 0 \]

Ergebnis: Der Graph nähert sich dem Ursprung von rechts an. Es gibt eine hebbare Definitionslücke bei \(x = 0\).

Zusammenfassung: Die Funktion hat keine horizontale oder senkrechte Asymptote. Sie nähert sich dem Ursprung an und wächst für große \(x\) unbegrenzt.

Ansätze für Extremstellen:

Wichtig: Schreibe zuerst die Ansätze auf, bevor du GeoGebra verwendest!
Notwendige Bedingung:
\[ f'(x) = 0 \]
Hinreichende Bedingung (beinhaltet die notwendige!):
\[ f'(x_0) = 0 \text{ und } f''(x_0) \neq 0 \]
  • \(f''(x_0) > 0\): Tiefpunkt (Minimum)
  • \(f''(x_0) < 0\): Hochpunkt (Maximum)

Berechnung der Ableitungen:

Erste Ableitung (Produktregel):

\[ f'(x) = (x \cdot \ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \]

Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0\)

\[ \begin{align} \ln(x) + 1 &= 0 \\ \ln(x) &= -1 \\ x &= e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368 \end{align} \]

Zweite Ableitung:

\[ f''(x) = (\ln(x) + 1)' = \frac{1}{x} \]

Hinreichende Bedingung: \(f''\left(\frac{1}{e}\right) = e > 0\)

Da \(f''\left(\frac{1}{e}\right) > 0\), liegt ein Minimum vor.

Funktionswert:

\[ f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot \ln\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e} \approx -0{,}368 \]
Extrempunkt: Tiefpunkt (Minimum) bei \(T\left(\frac{1}{e} \mid -\frac{1}{e}\right) \approx T(0{,}368 \mid -0{,}368)\)

Das Monotonieverhalten wird durch das Vorzeichen der ersten Ableitung \(f'(x) = \ln(x) + 1\) bestimmt:

Vorzeichenuntersuchung:

  • \(f'(x) = 0\) bei \(x = \frac{1}{e}\)
  • \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < \frac{1}{e}\) (z.B. \(f'(0{,}1) = \ln(0{,}1) + 1 \approx -1{,}3 < 0\))
  • \(f'(x) > 0\) für \(x > \frac{1}{e}\) (z.B. \(f'(1) = \ln(1) + 1 = 1 > 0\))
Intervall Vorzeichen von \(f'(x)\) Monotonie
\(\left(0; \frac{1}{e}\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend ↓
\(\left(\frac{1}{e}; \infty\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend ↑

Ansätze für Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:
\[ f''(x) = 0 \]
Hinreichende Bedingung (beinhaltet die notwendige!):
\[ f''(x_0) = 0 \text{ und } f'''(x_0) \neq 0 \]

Berechnung:

Zweite Ableitung:

\[ f''(x) = \frac{1}{x} \]

Notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0\)

\[ \frac{1}{x} = 0 \]

Diese Gleichung hat keine Lösung, da \(\frac{1}{x} \neq 0\) für alle \(x > 0\).

Ergebnis: Die Funktion hat keine Wendepunkte.

Krümmungsverhalten:

Da \(f''(x) = \frac{1}{x} > 0\) für alle \(x > 0\):

Intervall Vorzeichen von \(f''(x)\) Krümmung
\((0; \infty)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt (konvex) ∪

Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt (konvex).

Zusammenfassung der Kurvendiskussion

Funktion: \(f(x) = x \cdot \ln(x)\)

  • Definitionsbereich: \(\mathbb{D}_f = (0; \infty)\)
  • Wertebereich: \(\mathbb{W}_f = \left[-\frac{1}{e}; \infty\right) \approx [-0{,}368; \infty)\)
  • Nullstelle: \(x = 1\)
  • Y-Achsenabschnitt: Keiner (nicht definiert bei \(x = 0\))
  • Grenzwert: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\) (nähert sich dem Ursprung)
  • Asymptote: Keine
  • Extrempunkt: Minimum bei \(T\left(\frac{1}{e} \mid -\frac{1}{e}\right)\)
  • Monotonie: Fallend auf \(\left(0; \frac{1}{e}\right)\), steigend auf \(\left(\frac{1}{e}; \infty\right)\)
  • Wendepunkte: Keine
  • Krümmung: Linksgekrümmt (konvex) im gesamten Definitionsbereich

GeoGebra: Logarithmusfunktionen untersuchen

Mit dem GeoGebra-Applet kannst du Logarithmusfunktionen vollständig untersuchen und die Kurvendiskussion für verschiedene Funktionen durchführen.

Wichtig für die Klausur: Du musst die mathematischen Ansätze (ohne GeoGebra-Notation) kennen und notieren können! GeoGebra darf nur zum Berechnen verwendet werden, aber die Ansätze müssen klar aufgeschrieben sein.

Mathematische Ansätze: Notation und GeoGebra-Eingabe im Vergleich

Diese Ansätze musst du vor der Verwendung von GeoGebra aufschreiben:

Tipp zu GeoGebra: Bei komplizierten Ableitungen hilft Vereinfache(f'(x)) für eine bessere Darstellung.
Aufgabe Ansatz (mathematisch) GeoGebra-Notation (zum Vergleich)
Definitionsbereich Bedingung: Argument des ln > 0 Löse die Ungleichung manuell
Nullstellen \(f(x) = 0\) Löse(f(x) = 0)
Y-Achsenabschnitt \(f(0)\) (falls definiert) f(0)
Grenzwerte \(\lim_{x \to 0^+} f(x)\)
\(\lim_{x \to \infty} f(x)\)		 RechtsseitigerGrenzwert(f(x),0)
Grenzwert(f(x), ∞)
Ableitungen notieren
Erste Ableitung \(f'(x)\) f'(x) oder Vereinfache(f'(x))
Zweite Ableitung \(f''(x)\) f''(x) oder Vereinfache(f''(x))
Dritte Ableitung \(f'''(x)\) f'''(x) oder Vereinfache(f'''(x))
Extremstellen
(Notwendige Bed.)		 \(f'(x) = 0\) Löse(f'(x) = 0)
Art der Extremstellen
(Hinreichende Bed.)		 \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) \neq 0\)
• \(f''(x_0) > 0\): Minimum
• \(f''(x_0) < 0\): Maximum 		f''(x₀) berechnen
(Die hinreichende Bedingung beinhaltet die notwendige!)
Wendestellen
(Notwendige Bed.)		 \(f''(x) = 0\) Löse(f''(x) = 0)
Nachweis Wendepunkt
(Hinreichende Bed.)		 \(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\) f'''(x₀) berechnen
(Die hinreichende Bedingung beinhaltet die notwendige!)
Funktionswerte \(f(x_0)\) f(x₀)
Merke: Die hinreichende Bedingung enthält immer die notwendige Bedingung! Schreibe beide Bedingungen auf (z.B. \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\) für ein Minimum).
Im GeoGebra-Applet:
  • Button "CAS-Befehle anzeigen": Zeigt die CAS-Ansicht mit allen Berechnungen
  • Button "Graphen anzeigen": Wechselt zurück zur Grafik-Ansicht
  • Funktion: \(f(x) = x \cdot \ln(x)\) ist bereits geladen
  • Ableitungen: \(f'(x)\), \(f''(x)\), \(f'''(x)\) sind berechnet
  • Bedingungen: Notwendige und hinreichende Bedingungen sind überprüft

Hinweis: Scrolle in der CAS-Ansicht nach oben, um alle Berechnungen zu sehen!

Wichtige Formeln

Logarithmusfunktion

  • Definition: \(f(x) = \ln(x)\), Umkehrfunktion von \(e^x\)
  • Beziehung: \(\ln(e^x) = x\) und \(e^{\ln(x)} = x\)

Logarithmusgesetze

  • \(\ln(a \cdot c) = \ln(a) + \ln(c)\)
  • \(\ln\left(\frac{a}{c}\right) = \ln(a) - \ln(c)\)
  • \(\ln(a^r) = r \cdot \ln(a)\)
  • \(\ln(1) = 0\), \(\ln(e) = 1\)

Ableitungen

  • Ableitung: \([\ln(x)]' = \frac{1}{x}\)
  • Kettenregel: \([\ln(u(x))]' = \frac{u'(x)}{u(x)}\)
  • Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)

Schema der Kurvendiskussion

  1. Graph zeichnen (Überblick verschaffen, eventuell mit GeoGebra)
  2. Definitions- und Wertebereich bestimmen (Bedingung: Argument des Logarithmus > 0)
  3. Nullstellen und Achsenabschnitte berechnen
  4. Globalverlauf untersuchen (Asymptoten und Grenzwerte)
  5. Extrempunkte mit 1. und 2. Ableitung
  6. Monotonieverhalten angeben
  7. Wendepunkte und Krümmung bestimmen

Aufgaben zur Übung

Basisaufgaben

Aufgabe 1: Grundlegende Logarithmengleichungen lösen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen exakt:

a) \(\ln(x) = 2{,}5\)     b) \(3 \cdot \ln(x) = 9\)     c) \(\ln(x + 5) = 1\)     d) \(\ln(2x - 1) = -0{,}5\)     e) \(\ln(x^2) = 6\)

Aufgabe 2: Definitionsbereich bestimmen

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen:

a) \(f(x) = \ln(2x + 6)\)     b) \(g(x) = \ln(x^2 - 9)\)     c) \(h(x) = \ln(-x + 4)\)     d) \(k(x) = \frac{1}{\ln(x)}\)

Aufgabe 3: Nullstellen ermitteln

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen:

a) \(f(x) = \ln(x) - 3\)     b) \(g(x) = 2\cdot\ln(x) + 4\)     c) \(h(x) = \ln(x - 2) + 1\)     d) \(k(x) = \ln(4x) - 2\)

Aufgabe 4: Ableitungen berechnen

Leiten Sie die folgenden Funktionen ab:

a) \(f(x) = \ln(5x + 3)\)     b) \(g(x) = x^2 \cdot \ln(x)\)     c) \(h(x) = \ln(x^3 + 2x)\)     d) \(k(x) = (\ln(x))^2\)

Aufgabe 5: Logarithmusgesetze anwenden

Vereinfachen Sie so weit wie möglich:

a) \(\ln(12) - \ln(3)\)     b) \(\ln(x^5) + \ln(x^2)\)     c) \(2\cdot\ln(4) + \ln(2)\)     d) \(\ln(e^3 \cdot x^2)\)

Aufgabe 6: Transformationen beschreiben

Beschreiben Sie, wie die folgenden Funktionen aus \(f(x) = \ln(x)\) hervorgehen:

a) \(g(x) = \ln(x) - 4\)     b) \(h(x) = \ln(x + 5)\)     c) \(k(x) = 3\cdot\ln(x)\)     d) \(m(x) = \ln(-x)\)

Weiterführende Aufgaben

Aufgabe 7: Monotonie und Krümmung

Untersuchen Sie die Funktion \(f(x) = \ln(x)\) auf Monotonie- und Krümmungsverhalten. Begründen Sie rechnerisch mit den Ableitungen.

Aufgabe 8: Extremwert bestimmen

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = 2x - x\cdot\ln(x)\) für \(x > 0\).

a) Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung
b) Bestimmen Sie die Extrempunkte
c) Geben Sie die Art des Extremums an

Aufgabe 9: Tangente an Logarithmusfunktion

Gegeben ist \(f(x) = \ln(x)\).

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle \(x = 2\)
b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse

Aufgabe 10: Schnittpunkte zweier Funktionen

Gegeben sind \(f(x) = \ln(x)\) und \(g(x) = 0{,}5x - 1\).

Bestimmen Sie die Schnittpunkte rechnerisch (eventuell mit Newton-Verfahren oder grafisch mit GeoGebra).

Aufgabe 11: Vollständige Kurvendiskussion

Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für \(f(x) = \ln(x^2)\) durch:

  • Definitionsbereich
  • Symmetrie
  • Nullstellen
  • Extrempunkte
  • Wendepunkte
  • Grenzwertverhalten
Aufgabe 12: Anwendungsaufgabe - Radioaktiver Zerfall

Die Halbwertszeit einer radioaktiven Substanz beträgt 5 Jahre. Die Menge \(M(t)\) in Gramm nach \(t\) Jahren wird durch \(M(t) = M_0 \cdot e^{-k \cdot t}\) beschrieben.

a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante \(k\) (Tipp: Nach 5 Jahren ist die Hälfte zerfallen)
b) Bilden Sie die Umkehrfunktion \(t(M)\) mithilfe des Logarithmus
c) Nach wie vielen Jahren sind nur noch 10 g übrig, wenn \(M_0 = 100 \text{ g}\)?