∫
F(x)
dx

Integrationsregeln

Lerne die wichtigsten Regeln zum Integrieren von Funktionen

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Was ist ein Integral?

Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung. Während die Ableitung die momentane Änderungsrate beschreibt, gibt das Integral die Gesamtänderung oder den Flächeninhalt unter einer Kurve an.

Warum sind Integrale wichtig?

  • Sie berechnen Flächeninhalte unter Kurven
  • Sie bestimmen Gesamtänderungen (z.B. Weg aus Geschwindigkeit)
  • Sie rekonstruieren Funktionen aus ihrer Änderungsrate
  • Sie sind Grundlage für viele Anwendungen in Physik und Technik

Zwei Arten von Integralen

  • Unbestimmtes Integral: \(\int f(x) \, \text{d}x = F(x) + C\)
    Stammfunktion mit Integrationskonstante C
  • Bestimmtes Integral: \(\int_a^b f(x) \, \text{d}x = F(b) - F(a)\)
    Flächeninhalt zwischen a und b (Hauptsatz)

Funktion und Integral visualisiert

Wähle eine Funktion und sieh, wie das Integral (Fläche unter der Kurve) aussieht:

Funktion: \(f(x) = x\)
Stammfunktion: \(F(x) = \frac{x^2}{2} + C\)
Beobachtung: Die farbig markierte Fläche zeigt \(\int_{-2}^{2} f(x) \, \text{d}x\). Positive Flächen (über der x-Achse, blau) werden addiert, negative Flächen (unter der x-Achse, rot) werden subtrahiert. Die Stammfunktion \(F(x)\) zeigt die akkumulierte Fläche an jeder Stelle. Die Ableitung von \(F(x)\) ergibt wieder \(f(x)\)!

Grundlegende Integrationsregeln

Diese Regeln brauchst du, um das Integral jeder Funktion zu berechnen. Lerne sie auswendig!

Integrale von Grundfunktionen

Potenzregel für Integration

\[ \int x^n \, \text{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]

Regel: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen, Konstante C hinzufügen.

Beispiele:
  • \(\int x^2 \, \text{d}x = \frac{x^3}{3} + C\)
  • \(\int x^3 \, \text{d}x = \frac{x^4}{4} + C\)
  • \(\int x^{10} \, \text{d}x = \frac{x^{11}}{11} + C\)
  • \(\int 1 \, \text{d}x = \int x^0 \, \text{d}x = x + C\)
  • \(\int \sqrt{x} \, \text{d}x = \int x^{\frac{1}{2}} \, \text{d}x = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C\)

Spezielle Funktionen

Diese Integrale musst du auswendig lernen:

\(f(x)\) \(\int f(x) \, \text{d}x\)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x) + C\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x) + C\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)}\) \(\tan(x) + C\)
\(e^x\) \(e^x + C\)
\(a^x\) \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\)
\(\frac{1}{x}\) \(\ln|x| + C\)
Wichtig: Bei \(\frac{1}{x}\) ist das Integral \(\ln|x|\) - die Betragsstriche nicht vergessen!

Rechenregeln für Integrale

Faktorregel

\[ \int k \cdot f(x) \, \text{d}x = k \cdot \int f(x) \, \text{d}x \]

Regel: Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden.

Beispiele:
  • \(\int 5 \cdot x^2 \, \text{d}x = 5 \cdot \int x^2 \, \text{d}x = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5 \cdot x^3}{3} + C\)
  • \(\int 3 \cdot \sin(x) \, \text{d}x = 3 \cdot \int \sin(x) \, \text{d}x = -3 \cdot \cos(x) + C\)

Summenregel

\[ \int [f(x) + g(x)] \, \text{d}x = \int f(x) \, \text{d}x + \int g(x) \, \text{d}x \]

Regel: Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale.

Beispiele:
  • \(\int (x^2 + x^3) \, \text{d}x = \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + C\)
  • \(\int (\sin(x) + \cos(x)) \, \text{d}x = -\cos(x) + \sin(x) + C\)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\[ \int_a^b f(x) \, \text{d}x = F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b \]

Regel: Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, bestimme die Stammfunktion F(x) und setze die Grenzen ein.

Beispiel:
\[ \begin{align} \int_1^3 x^2 \, \text{d}x &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 \\ &= \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \\ &= \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \\ &= 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \end{align} \]

Substitutionsregel

Integration durch Substitution

\[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, \text{d}x = \int f(u) \, \text{d}u \quad \text{mit } u = g(x) \]

Regel: Ersetze einen komplexen Ausdruck durch eine neue Variable u.

Vorgehen:

  1. Wähle geeignete Substitution \(u = g(x)\)
  2. Berechne \(\text{d}u = g'(x) \, \text{d}x\)
  3. Ersetze in der Integrand \(f(g(x)) \cdot g'(x)\) durch \(f(u)\)
  4. Integriere nach u
  5. Rücksubstitution: Setze u wieder durch g(x) ein
Beispiel 1: \(\int 2 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^5 \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} u &= x^2 + 1 \\ \text{d}u &= 2 \cdot x \, \text{d}x \\ \\ \int 2 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^5 \, \text{d}x &= \int u^5 \, \text{d}u \\ &= \frac{u^6}{6} + C \\ &= \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C \end{align} \]
Weitere Beispiele: Siehe Abschnitt "Weitere Beispiele zur Substitution" weiter unten.
Tipp: Substitution funktioniert am besten, wenn die Ableitung der inneren Funktion (oder ein Vielfaches davon) bereits im Integral vorkommt!

Partielle Integration (Produktintegration)

Partielle Integration

\[ \int u'(x) \cdot v(x) \, \text{d}x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \, \text{d}x \]

Regel: Das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten. Wandelt ein schwieriges Integral in ein hoffentlich einfacheres um.

Vorgehen:

  1. Teile den Integranden in zwei Faktoren: \(u'(x)\) und \(v(x)\)
  2. Wähle geschickt: \(u'(x)\) soll einfach integrierbar sein, \(v(x)\) soll beim Ableiten einfacher werden
  3. Bestimme \(u(x) = \int u'(x) \, \text{d}x\) und \(v'(x)\)
  4. Setze in die Formel ein

Merkhilfe für die Wahl: LIATE-Regel
Logarithmus > Invers-Trig > Algebraisch > Trigonometrisch > Exponential
Wähle den weiter links stehenden als v(x)

Beispiel 1: \(\int x \cdot e^x \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} v(x) &= x, \quad v'(x) = 1 \\ u'(x) &= e^x, \quad u(x) = e^x \\ \\ \int x \cdot e^x \, \text{d}x &= x \cdot e^x - \int e^x \cdot 1 \, \text{d}x \\ &= x \cdot e^x - e^x + C \\ &= e^x \cdot (x - 1) + C \end{align} \]
Weitere Beispiele: Siehe Abschnitt "Weitere Beispiele zur Partiellen Integration" weiter unten.
Achtung: Manchmal muss partielle Integration mehrfach angewendet werden. Bei manchen Integralen führt sie auch im Kreis zurück zum Ausgangsintegral - dann kannst du nach dem gesuchten Integral auflösen!

Wie integriere ich? - Strategien im Überblick

Bevor du die Übungen machst: So gehst du beim Integrieren vor!

Grundintegral erkennen?

Prüfe, ob eine Grundfunktion vorliegt:

  • \(x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
  • \(\sin(x) \rightarrow -\cos(x) + C\)
  • \(\cos(x) \rightarrow \sin(x) + C\)
  • \(e^x \rightarrow e^x + C\)
  • \(\frac{1}{x} \rightarrow \ln|x| + C\)

→ Direkt integrieren, Konstante C nicht vergessen!

Summe oder konstanter Faktor?

Vereinfache zuerst:

  • Summe: \(\int [f + g] = \int f + \int g\)
  • Faktor: \(\int k \cdot f = k \cdot \int f\)

Beispiel:

\[ \begin{align} \int (3 \cdot x^2 + 2 \cdot x) \, \text{d}x &= 3 \cdot \int x^2 \, \text{d}x + 2 \cdot \int x \, \text{d}x \\ &= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C \end{align} \]

Verkettung erkennbar? → Substitution

Wann verwenden?

  • Eine "innere Funktion" ist erkennbar (z.B. bei \(e^{2 \cdot x}\) ist \(2 \cdot x\) die innere Funktion, bei \(\sin(3 \cdot x)\) ist \(3 \cdot x\) innere Funktion, bei \((x^2 + 1)^5\) ist \(x^2 + 1\) innere Funktion)
  • Die Ableitung der inneren Funktion (oder ein Vielfaches) steht ebenfalls im Integral
Allgemeine Regel: \(\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, \text{d}x = \int f(u) \, \text{d}u\) mit \(u = g(x)\)

Vorgehensweise:

  1. Setze \(u =\) innere Funktion
  2. Berechne \(\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = u'(x)\)
  3. Daraus folgt: \(\text{d}u = u'(x) \, \text{d}x\)
  4. Ersetze im Integral alles durch u
  5. Integriere nach u
  6. Rücksubstitution: Setze u wieder durch die ursprüngliche Funktion ein

Beispiele: Siehe Tab Substitution oben sowie Weitere Beispiele weiter unten.

Produkt von Funktionen? → Partielle Integration

Wann verwenden?

  • Bei Produkten wie \(x \cdot e^x\), \(x \cdot \sin(x)\), \(x^2 \cdot \cos(x)\)
  • Bei \(\ln(x)\) alleine (denke es als \(1 \cdot \ln(x)\))
  • Wenn Substitution nicht funktioniert
Formel: \(\int u'(x) \cdot v(x) \, \text{d}x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \, \text{d}x\)

Vorgehensweise:

  1. Teile den Integranden in zwei Faktoren: \(u'(x)\) und \(v(x)\)
  2. Wähle geschickt: \(u'(x)\) soll einfach integrierbar sein, \(v(x)\) soll beim Ableiten einfacher werden (siehe LIATE-Regel im Tab oben)
  3. Bestimme \(u(x) = \int u'(x) \, \text{d}x\) und \(v'(x)\)
  4. Setze in die Formel ein: \(u \cdot v - \int u \cdot v'\)
  5. Berechne das neue (hoffentlich einfachere) Integral

Beispiele: Siehe Tab Partielle Integration oben sowie Weitere Beispiele weiter unten.

Funktion \(f(x)\) Stammfunktion \(\int f(x) \, \text{d}x\)
\(x^n\) (n ≠ -1) \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(\frac{1}{x}\) \(\ln|x| + C\)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x) + C\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x) + C\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)}\) \(\tan(x) + C\)
\(e^x\) \(e^x + C\)
\(a^x\) \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\)
\(\sin(a \cdot x)\) \(-\frac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) + C\)
\(\cos(a \cdot x)\) \(\frac{1}{a} \cdot \sin(a \cdot x) + C\)
\(e^{a \cdot x}\) \(\frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x} + C\)
\(\frac{1}{a \cdot x + b}\) \(\frac{1}{a} \cdot \ln|a \cdot x + b| + C\)

Weitere Beispiele

Hier findest du zusätzliche ausführliche Beispiele zur Substitution und Partiellen Integration.

Weitere Beispiele zur Substitution

Beispiel 2: \(\int \sin(3 \cdot x) \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} u &= 3 \cdot x \\ \text{d}u &= 3 \, \text{d}x \quad \Rightarrow \quad \text{d}x = \frac{\text{d}u}{3} \\ \\ \int \sin(3 \cdot x) \, \text{d}x &= \int \sin(u) \cdot \frac{\text{d}u}{3} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \int \sin(u) \, \text{d}u \\ &= -\frac{1}{3} \cdot \cos(u) + C \\ &= -\frac{1}{3} \cdot \cos(3 \cdot x) + C \end{align} \]
Beispiel 3: \(\int e^{-2 \cdot x} \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} u &= -2 \cdot x \\ \text{d}u &= -2 \, \text{d}x \quad \Rightarrow \quad \text{d}x = -\frac{\text{d}u}{2} \\ \\ \int e^{-2 \cdot x} \, \text{d}x &= \int e^u \cdot \left(-\frac{\text{d}u}{2}\right) \\ &= -\frac{1}{2} \cdot e^u + C \\ &= -\frac{1}{2} \cdot e^{-2 \cdot x} + C \end{align} \]
Beispiel 4: \(\int \frac{2 \cdot x}{x^2 + 1} \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} u &= x^2 + 1 \\ \text{d}u &= 2 \cdot x \, \text{d}x \\ \\ \int \frac{2 \cdot x}{x^2 + 1} \, \text{d}x &= \int \frac{1}{u} \, \text{d}u \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 1| + C \end{align} \]
Beispiel 5: \(\int \frac{1}{2 \cdot x + 5} \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} u &= 2 \cdot x + 5 \\ \text{d}u &= 2 \, \text{d}x \quad \Rightarrow \quad \text{d}x = \frac{\text{d}u}{2} \\ \\ \int \frac{1}{2 \cdot x + 5} \, \text{d}x &= \int \frac{1}{u} \cdot \frac{\text{d}u}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \ln|u| + C \\ &= \frac{1}{2} \cdot \ln|2 \cdot x + 5| + C \end{align} \]

Weitere Beispiele zur Partiellen Integration

Beispiel 2: \(\int x \cdot \sin(x) \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} v(x) &= x, \quad v'(x) = 1 \\ u'(x) &= \sin(x), \quad u(x) = -\cos(x) \\ \\ \int x \cdot \sin(x) \, \text{d}x &= x \cdot (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \cdot 1 \, \text{d}x \\ &= -x \cdot \cos(x) + \int \cos(x) \, \text{d}x \\ &= -x \cdot \cos(x) + \sin(x) + C \end{align} \]
Beispiel 3: \(\int \ln(x) \, \text{d}x\)
\[ \begin{align} v(x) &= \ln(x), \quad v'(x) = \frac{1}{x} \\ u'(x) &= 1, \quad u(x) = x \\ \\ \int \ln(x) \, \text{d}x &= x \cdot \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, \text{d}x \\ &= x \cdot \ln(x) - \int 1 \, \text{d}x \\ &= x \cdot \ln(x) - x + C \end{align} \]
Beispiel 4: \(\int x^2 \cdot \cos(x) \, \text{d}x\)

Hier muss partielle Integration zweimal angewendet werden!

\[ \begin{align} v &= x^2, \quad u' = \cos(x) \\ v' &= 2 \cdot x, \quad u = \sin(x) \\ \\ \int x^2 \cdot \cos(x) \, \text{d}x &= x^2 \cdot \sin(x) - \int 2 \cdot x \cdot \sin(x) \, \text{d}x \\ &= x^2 \cdot \sin(x) - 2 \cdot \left[ -x \cdot \cos(x) + \sin(x) \right] + C \\ &= x^2 \cdot \sin(x) + 2 \cdot x \cdot \cos(x) - 2 \cdot \sin(x) + C \end{align} \]
Beispiel 5: \(\int x^2 \cdot \sin(x) \, \text{d}x\)

Hier muss partielle Integration zweimal angewendet werden!

\[ \begin{align} v &= x^2, \quad u' = \sin(x) \\ v' &= 2 \cdot x, \quad u = -\cos(x) \\ \\ \int x^2 \cdot \sin(x) \, \text{d}x &= -x^2 \cdot \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot 2 \cdot x \, \text{d}x \\ &= -x^2 \cdot \cos(x) + 2 \cdot \int x \cdot \cos(x) \, \text{d}x \\ &= -x^2 \cdot \cos(x) + 2 \cdot \left[ x \cdot \sin(x) + \cos(x) \right] + C \\ &= -x^2 \cdot \cos(x) + 2 \cdot x \cdot \sin(x) + 2 \cdot \cos(x) + C \end{align} \]

Übungen

Bestimme die folgenden Integrale. Klicke auf "Lösung anzeigen" um die Lösung mit Rechenweg zu sehen.

Übung 1: \(\int (3 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 5) \, \text{d}x\)

Übung 2: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, \text{d}x\)

Übung 3: \(\int 6 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^2 \, \text{d}x\)

Übung 4: \(\int x \cdot \cos(x) \, \text{d}x\)

Übung 5: \(\int \frac{4 \cdot x^3}{x^4 + 1} \, \text{d}x\)

Übung 6: \(\int e^{3 \cdot x} \, \text{d}x\)

Übung 7: \(\int_1^e \frac{1}{x} \, \text{d}x\)

Übung 8: \(\int x^2 \cdot e^x \, \text{d}x\)

Was du können solltest

  • Potenzregel für Integration anwenden
  • Integrale von sin, cos, e^x, 1/x kennen
  • Hauptsatz anwenden für bestimmte Integrale
  • Substitution bei verketteten Funktionen nutzen
  • Partielle Integration bei Produkten verwenden
  • Wissen, welche Methode wann anzuwenden ist

Tipps

  • Lerne die Grundintegrale auswendig
  • Integrationskonstante C nicht vergessen!
  • Bei Substitution: Prüfe, ob Ableitung im Integral vorkommt
  • Bei partieller Integration: LIATE-Regel beachten
  • Kontrolliere dein Ergebnis durch Ableiten