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Ober- und Untersumme

Wie das Integral als Grenzwert von Rechtecksummen entsteht – und der Beweis des Hauptsatzes

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Was sind Ober- und Untersumme?

Das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x)\,\text{d}x\) misst den Flächeninhalt unter einer Kurve. Aber wie kann man diese Fläche exakt berechnen? Die Idee: Man nähert sie durch Rechtecke an!

Obersumme \(O_n\)

Jedes Rechteck hat die Höhe des Maximums von \(f\) im Teilintervall. Die Obersumme überschätzt die wahre Fläche (oder trifft sie genau).

Untersumme \(U_n\)

Jedes Rechteck hat die Höhe des Minimums von \(f\) im Teilintervall. Die Untersumme unterschätzt die wahre Fläche (oder trifft sie genau).

Kernidee: Für monotone Funktionen gilt stets \(U_n \leq \int_a^b f(x)\,\text{d}x \leq O_n\). Wenn \(O_n - U_n \to 0\), dann müssen beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren — das Integral ist wohldefiniert!

Animation: Ober- und Untersumme für \(f(x) = x^2\) auf \([0,\,2]\)

Beobachte, wie sich die Rechtecke bei steigendem \(n\) immer enger an die Parabel anschmiegen. Drücke Play oder ziehe den Schieberegler.

Was beobachtest du?

  • Für kleines \(n\) (z.B. \(n = 1\)) ist der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme noch groß.
  • Mit wachsendem \(n\) werden die Rechtecke schmaler — beide Summen nähern sich dem exakten Integral \(\int_0^2 x^2\,\text{d}x = \tfrac{8}{3} \approx 2{,}667\).
  • Die Differenz \(O_n - U_n\) schrumpft wie \(\tfrac{8}{n}\) — also proportional zu \(\tfrac{1}{n}\).

Konvergenz von \(O_n\) und \(U_n\)

Der folgende Plot zeigt, wie \(O_n\) (rot) und \(U_n\) (blau) sich mit wachsendem \(n\) dem exakten Integral \(\tfrac{8}{3}\) (grün gestrichelt) annähern. Drücke Play um die Konvergenz zu beobachten.

Differenz \(O_n - U_n\)

Die numerische Differenz \(O_n - U_n\) deckt sich exakt mit der analytischen Formel \(\tfrac{8}{n}\). Der Plot zeigt das \(\tfrac{1}{n}\)-Verhalten für alle \(n = 1, \ldots, 50\) auf einen Blick.

Beweis: \(O_n - U_n \to 0\) (Teleskopsumme)

Sei \(f\) monoton steigend auf \([a, b]\) mit \(n\) gleichen Teilintervallen der Breite \(\Delta x = \tfrac{b-a}{n}\). Mit Teilpunkten \(x_i = a + i \cdot \Delta x\) gilt:

\[ O_n = \Delta x \cdot \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \qquad U_n = \Delta x \cdot \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \]

Die Differenz ist eine Teleskopsumme:

\[ O_n - U_n = \Delta x \cdot \sum_{i=1}^{n} \bigl[f(x_i) - f(x_{i-1})\bigr] = \Delta x \cdot \bigl(f(b) - f(a)\bigr) = \frac{b-a}{n} \cdot \bigl(f(b) - f(a)\bigr) \longrightarrow 0 \quad (n \to \infty) \]

Schreibt man die Terme ohne Summenzeichen aus, erkennt man das Muster sofort:

\[ O_n - U_n = \Delta x \cdot \bigl[ \bigl(f(x_1) - f(x_0)\bigr) + \bigl(f(x_2) - f(x_1)\bigr) + \cdots + \bigl(f(x_n) - f(x_{n-1})\bigr) \bigr] \]

Obersumme: \(+f(b)\) bleibt stehen

Der letzte positive Term ist \(+f(x_n) = +f(b)\). Alle vorherigen positiven Terme \(+f(x_1),\, +f(x_2),\, \ldots\) werden durch die nächste Klammer wieder subtrahiert.

Untersumme: \(-f(a)\) bleibt stehen

Der erste negative Term ist \(-f(x_0) = -f(a)\). Alle nachfolgenden negativen Terme \(-f(x_1),\, -f(x_2),\, \ldots\) werden durch die vorherige Klammer wieder aufgehoben.

Alle mittleren Terme heben sich paarweise auf — es bleibt nur \(f(b) - f(a)\):

\[ = \Delta x \cdot \Bigl[ \underbrace{f(x_1) - f(x_1)}_{=\,0} + \underbrace{f(x_2) - f(x_2)}_{=\,0} + \cdots + \underbrace{f(x_{n-1}) - f(x_{n-1})}_{=\,0} + f(x_n) - f(x_0) \Bigr] = \Delta x \cdot \bigl(f(b) - f(a)\bigr) \]
Folgerung: Da \(U_n \leq \int_a^b f\,\text{d}x \leq O_n\) und \(O_n - U_n \to 0\), konvergieren beide Folgen gegen denselben Grenzwert. Das Integral ist damit wohldefiniert.

Konkret für \(f(x) = x^2\) auf \([0, 2]\):

\[ O_n - U_n = \frac{2-0}{n} \cdot \bigl(f(2) - f(0)\bigr) = \frac{2}{n} \cdot (4 - 0) = \frac{8}{n} \;\longrightarrow\; 0 \]

Beweis: \(F_a'(x) = f(x)\) — Die Flächenfunktion ist Stammfunktion

Wir leiten die Flächenfunktion \(F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\text{d}t\) nach der Definition der Ableitung ab:

\[ F_a'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \]

Geometrisch: \(F_a(x+h) - F_a(x)\) ist der Flächenstreifen unter der Kurve zwischen \(x\) und \(x+h\):

\[ F_a(x+h) - F_a(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\text{d}t \]

Das Einquetschargument (für monoton steigendes \(f\))

Auf \([x,\, x+h]\) gilt: Minimum von \(f\) ist \(f(x)\), Maximum ist \(f(x+h)\). Damit:

Unteres Rechteck

\[ f(x) \cdot h \]

Höhe = Minimum von \(f\)

Tatsächliche Streifenfläche

\[ F_a(x+h) - F_a(x) \]

Fläche unter der Kurve

Oberes Rechteck

\[ f(x+h) \cdot h \]

Höhe = Maximum von \(f\)

Interaktiv: Verschiebe den Schieberegler nach rechts (\(h \to 0\)) und beobachte, wie alle drei Flächen zusammenlaufen — und der Differenzenquotient \(\tfrac{F_a(x+h)-F_a(x)}{h}\) von beiden Seiten auf \(f(x)\) eingeengt wird.
Beispiel: \(f(t) = \sqrt{t} + 1\), \(a = 1\), fester Auswertungspunkt \(x = 4\)
\[ f(x) \cdot h \;\leq\; F_a(x+h) - F_a(x) \;\leq\; f(x+h) \cdot h \]

÷ hDivision durch \(h > 0\)

\[ f(x) \;\leq\; \frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \;\leq\; f(x+h) \]

limGrenzübergang \(h \to 0\)

Da \(f\) stetig ist, gilt \(\lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)\):

\[ \lim_{h \to 0} f(x) \;\leq\; \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h}}_{=\;F_a'(x)} \;\leq\; \lim_{h \to 0} f(x+h) \] \[ f(x) \;\leq\; F_a'(x) \;\leq\; f(x) \]

Ergebnis (Einquetschsatz)

\[ \boxed{F_a'(x) = f(x)} \]

Die Flächenfunktion \(F_a\) ist eine Stammfunktion von \(f\).  ■

Konkretes Beispiel: \(f(t) = \sqrt{t} + 1\), \(a = 1\), Auswertungspunkt \(x = 1\)

An der Stelle \(x = a = 1\) gilt \(f(1) = \sqrt{1} + 1 = 2\). Das Einquetschen liefert:

\[ \underbrace{f(1)}_{=\,2} \;\leq\; F_a'(1) \;\leq\; \underbrace{\lim_{h \to 0} f(1+h)}_{=\,f(1)\,=\,2} \quad\Longrightarrow\quad 2 \;\leq\; F_a'(1) \;\leq\; 2 \quad\Longrightarrow\quad F_a'(1) = 2 = f(1) \;\checkmark \]

Im Diagramm: Schieberegler nach rechts (kleines \(h\)) → alle drei Werte konvergieren gegen \(2 = f(1)\).

Folgerung: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x = F(b) - F(a)\)

Da \(F_a'(x) = f(x)\), ist \(F_a\) eine Stammfunktion, also \(F_a(x) = F(x) + C\). Mit \(F_a(a) = \int_a^a f\,\text{d}t = 0\) folgt:

\[ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = F_a(b) = F_a(b) - \underbrace{F_a(a)}_{=\,0} = \bigl(F(b)+C\bigr) - \bigl(F(a)+C\bigr) = F(b) - F(a) \]

Konkret: \(F(x) = \tfrac{x^3}{3}\) und \(G(x) = \tfrac{x^3}{3} + 7\) liefern dasselbe Ergebnis \(\int_0^2 x^2\,\text{d}x = \tfrac{8}{3}\) — die Konstante \(C\) kürzt sich immer heraus.

Was du wissen solltest

  • Obersumme: Rechtecke mit Maximum-Höhe → überschätzt die Fläche
  • Untersumme: Rechtecke mit Minimum-Höhe → unterschätzt die Fläche
  • Für monotone Funktionen: \(O_n - U_n = \tfrac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n} \to 0\)
  • Hauptsatz: \(\int_a^b f(x)\,\text{d}x = F(b) - F(a)\)
  • Die Konstante \(C\) kürzt sich immer heraus

Merksätze

  • Das Integral ist der gemeinsame Grenzwert von Ober- und Untersumme
  • Je mehr Rechtecke (\(n \uparrow\)), desto genauer die Näherung
  • Teleskopsumme: Alle mittleren Terme kürzen sich weg
  • Der Hauptsatz verbindet Differentiation und Integration
  • Jede Stammfunktion funktioniert — wähle die einfachste!