Textaufgabe: Nährstoffkonzentration in einem See

a1) Definitionsbereich und Asymptote:

Nenner gleich Null:

\[2a - t = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2a\] \[D = \mathbb{R} \setminus \{2a\}\]

Senkrechte Asymptote: \(t = 2a\)

Interpretation: Die Polstelle bei \(t = 2a\) markiert den Zeitpunkt, an dem das Ökosystem „umkippt" – die Konzentration wächst über alle Grenzen. Das Modell ist nur für \(0 \leq t < 2a\) sinnvoll, da dort Zähler (\(2t \geq 0\)) und Nenner (\(2a - t > 0\)) nicht-negativ sind und die Konzentration physikalisch sinnvolle Werte annimmt. Ein größerer Parameter \(a\) verschiebt die Polstelle nach rechts – der See hält länger stand.

a2) Grenzwerte:

Konzentration zu Beginn:

\[C_a(0) = \frac{2 \cdot 0}{2a - 0} = 0\]

Interpretation: Zu Beginn der Messungen ist der See unbelastet.

Verhalten für \(t \to (2a)^-\):

Der Zähler \(2t \to 4a > 0\), der Nenner \(2a - t \to 0^+\), also:

\[C_a(t) \to +\infty\]

Interpretation: Die Nährstoffkonzentration wächst kurz vor dem Kippen des Sees über alle Grenzen.

a3) Pufferkapazität für Polstelle bei \(t = 12\):

\[2a = 12 \quad \Longrightarrow \quad a = 6\]

Interpretation: Bei einer Pufferkapazität von \(a = 6\) ist das Modell für die ersten 12 Wochen gültig.

b1) Monotonieverhalten:

Quotientenregel:

\[C_a'(t) = \frac{2 \cdot (2a - t) - 2t \cdot (-1)}{(2a - t)^2} = \frac{4a}{(2a - t)^2}\]

Da \(a > 0\) und \((2a - t)^2 > 0\) für \(t \neq 2a\):

\[C_a'(t) > 0 \quad \text{für alle } t \in [0;\, 2a)\]

Ergebnis: \(C_a\) ist auf \([0;\, 2a)\) streng monoton steigend.

b2) Krümmungsverhalten:

\[C_a''(t) = \frac{0 \cdot (2a-t)^2 - 4a \cdot 2(2a-t) \cdot (-1)}{(2a-t)^4} = \frac{8a}{(2a - t)^3}\]

Da \(a > 0\) und \(2a - t > 0\) auf \([0;\, 2a)\):

\[C_a''(t) > 0 \quad \text{für alle } t \in [0;\, 2a)\]

Ergebnis: Der Graph ist auf dem gesamten Modellbereich linksgekrümmt (konvex). Es existieren keine Wendepunkte.

b3) Interpretation:

Die Nährstoffkonzentration steigt im gesamten Modellzeitraum streng monoton und der Anstieg wird immer steiler (Linkskrümmung). Zu Beginn ist der Anstieg moderat, beschleunigt sich dann aber zunehmend – biologisch: die Selbstreinigungskraft des Sees wird zunehmend überfordert, bis das System schließlich kollabiert.

c1) Polynomdivision:

Für \(a = 6\):

\[C_6(t) = \frac{2t}{12 - t}\]

Polynomdivision \((2t) \div (12 - t)\):

\[\frac{2t}{12 - t} = \frac{-2(12 - t) + 24}{12 - t} = -2 + \frac{24}{12 - t}\] \[C_6(t) = -2 + \frac{24}{12 - t}\]

c2) Durchschnittliche Konzentration:

\[\bar{C} = \frac{1}{4}\int_0^4 \left(-2 + \frac{24}{12 - t}\right)\text{d}t\] \[= \frac{1}{4}\Big[-2t - 24\ln|12 - t|\Big]_0^4\] \[= \frac{1}{4}\Big[(-8 - 24\ln 8) - (0 - 24\ln 12)\Big]\] \[= \frac{1}{4}\Big[-8 + 24\ln 12 - 24\ln 8\Big]\] \[= \frac{1}{4}\left[-8 + 24\ln\frac{12}{8}\right]\] \[= \frac{1}{4}\left[-8 + 24\ln\frac{3}{2}\right]\] \[= -2 + 6\ln\frac{3}{2}\] \[\approx -2 + 6 \cdot 0{,}4055 \approx 0{,}43 \text{ mg/l}\]

Interpretation: Die durchschnittliche Nährstoffkonzentration in den ersten 4 Wochen beträgt etwa \(0{,}43\) mg/l – ein noch vergleichsweise niedriger Wert, da der Konzentrationsanstieg in dieser frühen Phase noch moderat verläuft.

d1) Kritischer Zeitpunkt:

\[C_a(t) = 5\] \[\frac{2t}{2a - t} = 5\] \[2t = 5(2a - t)\] \[2t = 10a - 5t\] \[7t = 10a\] \[t_k = \frac{10a}{7}\]

Überprüfung: \(t_k < 2a\)?

\[\frac{10a}{7} < 2a \quad \Longleftrightarrow \quad 10a < 14a \quad \Longleftrightarrow \quad 0 < 4a \quad \checkmark\]

Der kritische Zeitpunkt liegt für alle \(a > 0\) im sinnvollen Modellbereich.

d2) Ortskurve:

Die Ortskurve besteht aus den Punkten \(\left(\frac{10a}{7} \;\Big|\; 5\right)\).

Mit \(t_k = \frac{10a}{7}\) folgt \(a = \frac{7t_k}{10}\). Die Ortskurve ist die horizontale Gerade:

\[y = 5, \quad t > 0\]

d3) Pufferkapazität für kritischen Wert nach 8 Wochen:

\[t_k = 8\] \[\frac{10a}{7} = 8 \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{56}{10} = 5{,}6\]

Interpretation: Ein See mit Pufferkapazität \(a = 5{,}6\) erreicht die kritische Konzentration von 5 mg/l nach genau 8 Wochen. Die Polstelle liegt dann bei \(t = 11{,}2\) Wochen.

e1) Steigungswinkel für \(a = 6\):

Aus Aufgabe b1):

\[C_a'(t) = \frac{4a}{(2a - t)^2}\]

Für \(a = 6\) und \(t = 0\):

\[C_6'(0) = \frac{24}{144} = \frac{1}{6}\]

Steigungswinkel:

\[\alpha = \arctan\left(\frac{1}{6}\right) \approx 9{,}46°\]

e2) Pufferkapazität für Grenzwinkel \(30°\):

Allgemein gilt:

\[C_a'(0) = \frac{4a}{(2a)^2} = \frac{4a}{4a^2} = \frac{1}{a}\]

Bedingung \(\alpha = 30°\):

\[\tan(30°) = \frac{1}{a}\] \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{a}\] \[a = \sqrt{3} \approx 1{,}732\]

Interpretation: Bei einer Pufferkapazität von \(a = \sqrt{3} \approx 1{,}73\) beträgt der Steigungswinkel im Ursprung genau \(30°\). Seen mit geringerer Pufferkapazität (\(a < \sqrt{3}\)) zeigen einen besorgniserregend steilen Konzentrationsanstieg zu Beginn. Die Polstelle läge dann bereits bei \(t = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) Wochen – ein solcher See würde sehr schnell kippen.