Binomialverteilung
Von Bernoulli-Ketten über die Formel von Bernoulli bis zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Standardabweichung
Lernlandkarte: vom Pfad zur Verteilung
Stell dir ein Zufallsexperiment vor, das nur zwei mögliche Ausgänge hat – „Treffer" oder „Niete" – und das du mehrmals unabhängig wiederholst: ein Münzwurf, ein Glücksrad oder eine Qualitätskontrolle am Fließband. Auf dieser Seite gehst du Schritt für Schritt denselben Weg, den die Mathematik nimmt, um aus einem einzelnen Pfad eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung zu konstruieren:
- 1. Bernoulli-Ketten: Was ist die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad? → \(p^k \cdot q^{n-k}\)
- 2. Formel von Bernoulli: Wie viele Pfade führen zum gleichen Ergebnis? → \(\binom{n}{k}\)
- 3. Binomialverteilung: Alle Ergebnisse zusammen ergeben ein Histogramm → \(X \sim B(n;p)\)
- 4. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten: Wie beantwortest du „mindestens"- und „höchstens"-Fragen?
- 5. Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung: Die Verteilung in drei Kennzahlen
- 6. Komplexaufgabe: Alles zusammen in einer Anwendungsaufgabe
1. Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Experiment
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen: „Treffer" und „Niete".
\[ P(\text{Treffer}) = p, \qquad P(\text{Niete}) = q = 1 - p \]Bernoulli-Kette
Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal unabhängig wiederholt und bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) dabei konstant, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\).
Mit oder ohne Zurücklegen?
Bei einer Ziehung mit Zurücklegen (oder bei unabhängigen Wiederholungen wie Münzwurf oder Glücksrad) bleibt \(p\) bei jeder Durchführung gleich – es liegt eine Bernoulli-Kette vor.
Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung der Grundgesamtheit nach jeder Ziehung – damit ändert sich auch \(p\) von Zug zu Zug. Es liegt keine Bernoulli-Kette vor.
Pfadwahrscheinlichkeit
Betrachte einen bestimmten Pfad einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit genau \(k\) Treffern und \(n-k\) Nichttreffern. Da die einzelnen Durchführungen unabhängig sind, multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:
\[ P(\text{ein bestimmter Pfad mit } k \text{ Treffern}) = p^k \cdot q^{n-k} \]Da die Multiplikation kommutativ ist, hängt dieses Produkt nur von der Anzahl der Treffer \(k\) ab – nicht davon, an welchen Stellen des Pfades sie auftreten.
Aufgabe 1.1 – Bernoulli-Kette erkennen Leicht
Entscheide jeweils, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt, und begründe deine Antwort.
a) Ein Würfel wird 10-mal geworfen, Treffer = „Sechs".
b) Aus 18 Mädchen und 12 Jungen werden nacheinander 3 Personen ohne Zurücklegen gezogen, Treffer = „Mädchen".
c) Ein Glücksrad (rot / nicht rot) wird 8-mal gedreht.
d) Eine Münze wird geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf" fällt.
Aufgabe 1.2 – Pfadwahrscheinlichkeit Mittel
Ein Glücksrad mit \(P(\text{rot}) = 0{,}3\) wird 4-mal gedreht. Betrachte den Pfad rot – rot – nicht rot – nicht rot.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dieses einen Pfades.
b) Wie viele Pfade führen zu genau 2-mal „rot"? Liste sie auf.
c) Haben alle diese Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit? Begründe.
2. Formel von Bernoulli
Aus Aufgabe 1.2 weißt du bereits: Jeder Pfad mit genau \(k\) Treffern hat dieselbe Wahrscheinlichkeit \(p^k \cdot q^{n-k}\). Um \(P(X=k)\) zu erhalten, musst du diese Pfadwahrscheinlichkeit nur noch mit der Anzahl der Pfade mit genau \(k\) Treffern multiplizieren.
Wie viele Pfade gibt es?
Die Anzahl der Pfade mit genau \(k\) Treffern unter \(n\) Versuchen ist der Binomialkoeffizient:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]Er gibt an, auf wie viele Arten man \(k\) der \(n\) Positionen für die Treffer auswählen kann.
Die Formel von Bernoulli
Kombinierst du beide Bausteine, erhältst du die Formel von Bernoulli:
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]Anzahl der Pfade \(\binom{n}{k}\) mal Pfadwahrscheinlichkeit \(p^k \cdot q^{n-k}\).
Pascal'sches Dreieck: Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) lassen sich auch aus dem Pascal'schen Dreieck ablesen. Dabei gilt die Symmetrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) – das spart oft Rechenarbeit.
Aufgabe 2.1 – Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner Leicht
Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten:
\(\binom{6}{2}, \quad \binom{5}{0}, \quad \binom{7}{7}, \quad \binom{8}{1}\)
Nutze anschließend die Symmetrie, um \(\binom{10}{8}\) zu bestimmen.
Aufgabe 2.2 – Formel von Bernoulli anwenden Mittel
Betrachte wieder das Glücksrad aus Aufgabe 1.2 (\(p = 0{,}3\), \(n = 4\)) und \(X\) = Anzahl „rot".
a) Bestimme \(P(X=2)\).
b) Bestimme \(P(X=0)\).
c) Bestimme \(P(X=4)\).
3. Binomialverteilung und ihre Parameter
Kontext: Qualitätskontrolle
Eine Maschine produziert Bauteile. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}2\) fehlerhaft. Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe von \(n = 25\) Bauteilen entnommen. Sei \(X\) die Anzahl der fehlerhaften Bauteile in dieser Stichprobe, also \(X \sim B(25; 0{,}2)\).
Die Schreibweise \(X \sim B(n;p)\)
Ist \(X\) die Trefferanzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), so sagt man: \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n\) und \(p\), kurz \(X \sim B(n;p)\). Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k = 0, 1, \dots, n\) bilden zusammen die Binomialverteilung.
Das Histogramm der Verteilung
Das folgende Histogramm zeigt \(P(X=k)\) für \(k = 0, \dots, 25\) und \(X \sim B(25; 0{,}2)\). Für \(p = 0{,}5\) wäre die Verteilung symmetrisch. Da hier \(p = 0{,}2\) deutlich kleiner als \(0{,}5\) ist, ist die Verteilung rechtsschief: Die meiste Wahrscheinlichkeitsmasse liegt bei kleinen \(k\)-Werten, mit einem langen, dünnen Ausläufer nach rechts.
Aufgabe 3.1 – Histogramm und Einzelwahrscheinlichkeiten Mittel
a) Lies am Histogramm ab, bei welchem \(k\) der höchste Balken liegt, und bestätige rechnerisch, dass \(P(X=5) > P(X=4)\) gilt.
b) Berechne \(P(X=5)\).
c) Berechne \(P(X=0)\).
Stelle mit den Schiebereglern eigene Werte für \(n\) und \(p\) ein und beobachte, wie sich das Histogramm und die Kennzahlen \(\mu\), \(\sigma^2\) und \(\sigma\) der Binomialverteilung \(X \sim B(n;p)\) verändern.
4. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten und „Mindestens"-Aufgaben
Die Kein-Abkürzen-Regel:
Bei „mindestens"-Aufgaben gehst du immer von der vollständigen Identität \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1) = 1 - \left[P(X=0) + \dots + P(X=k-1)\right]\) aus – auch wenn du das Ergebnis am Ende mit einem einzigen CAS-Befehl berechnest. So vermeidest du Verwechslungen zwischen \(\geq\), \(>\), \(\leq\) und \(<\).
Genau, höchstens, mindestens, mehr als
| Formulierung | Notation | Berechnung mit Binomial(n, p, k, ...) |
|---|---|---|
| genau \(k\) | \(P(X=k)\) | Binomial(n, p, k, false) |
| höchstens \(k\) | \(P(X \leq k)\) | Binomial(n, p, k, true) |
| mindestens \(k\) | \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) | 1 - Binomial(n, p, k-1, true) |
| mehr als \(k\) | \(P(X > k) = 1 - P(X \leq k)\) | 1 - Binomial(n, p, k, true) |
Aufgabe 4.1 – Kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit GeoGebra Schwer
Weiterhin \(X \sim B(25; 0{,}2)\) (Bauteile aus Kapitel 3). Berechne mit dem GeoGebra-CAS-Befehl
Binomial(n, p, k, false/true) – wobei false für \(P(X=k)\) und
true für \(P(X \leq k)\) steht. Gehe dabei nach dem Dreischritt
Aufschrieb → GeoGebra-Eingabe → Ergebnis vor.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens 3 Bauteile fehlerhaft sind?
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 1 Bauteil fehlerhaft ist?
c) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 2 Bauteile fehlerhaft sind?
d) Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als 6 Bauteile fehlerhaft sind?
5. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Statt jede einzelne Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) zu betrachten, lässt sich eine ganze Binomialverteilung durch drei Kennzahlen zusammenfassen: den Erwartungswert \(\mu\), die Varianz \(\sigma^2\) und die Standardabweichung \(\sigma\).
Erwartungswert
Der Erwartungswert gibt an, mit wie vielen Treffern man im Mittel rechnen kann:
\[ \mu = n \cdot p \]Varianz und Standardabweichung
Die Varianz beschreibt, wie stark die Werte um \(\mu\) streuen:
\[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot q \]Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und hat dieselbe Einheit wie \(X\):
\[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} \]Aufgabe 5.1 – Kennzahlen berechnen Leicht
Weiterhin \(X \sim B(25; 0{,}2)\).
a) Berechne den Erwartungswert \(\mu\).
b) Berechne die Varianz \(\sigma^2\) und die Standardabweichung \(\sigma\).
c) Deute \(\mu\) und \(\sigma\) am Histogramm aus Kapitel 3.
6. Komplexaufgabe
Aufgabe 6.1 – Keimrate von Saatgut Schwer
Eine Saatgut-Genossenschaft gibt für eine bestimmte Sorte eine Keimrate von 90 % an. Ein Gärtner sät 20 Samen dieser Sorte aus, deren Keimung unabhängig voneinander erfolgt. Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen, also \(X \sim B(20; 0{,}9)\).
a) Wie viele Samen keimen im Mittel?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 20 Samen keimen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 18 Samen keimen?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Samen nicht keimen? Wähle dafür ein geschicktes Modell.
Zusammenfassung
Die wichtigsten Formeln auf einen Blick
Für \(X \sim B(n;p)\) mit \(q = 1-p\) gilt:
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] \[ \mu = n \cdot p, \qquad \sigma^2 = n \cdot p \cdot q, \qquad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} \]Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten gilt stets die vollständige Identität \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) – nie abkürzen!