\(\int f(t)\,dt\)
\(F(t)\)
\(f(t)\)

Bestandsänderungen & Bestandsfunktionen

Bestandsänderungen berechnen, Bestandsfunktionen bestimmen und Zeitpunkte finden

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Die drei Grundbegriffe

In vielen Anwendungen interessiert uns nicht nur, wie schnell sich etwas verändert, sondern auch, wie viel insgesamt vorhanden ist. Dafür brauchen wir drei Begriffe:

1. Bestand

Der Bestand beschreibt, wie viel von etwas zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhanden ist.

Situation Bestand
Wie viele Liter Wasser sind im Tank? Wassermenge in Litern
Wie viele Abonnenten hat ein Podcast? Anzahl der Abonnenten
Wie hoch ist der Wasserstand eines Flusses? Pegelstand in cm

2. Änderungsrate \(f(t)\)

Die Änderungsrate \(f(t)\) beschreibt, wie schnell sich der Bestand pro Zeiteinheit verändert. Sie ist die Ableitung der Bestandsfunktion.

\[ f(t) = F'(t) \]

Wichtig: Ist \(f(t) > 0\), nimmt der Bestand zu. Ist \(f(t) < 0\), nimmt er ab.

3. Bestandsfunktion \(F(t)\)

Die Bestandsfunktion \(F(t)\) gibt den Gesamtbestand zum Zeitpunkt \(t\) an. Sie ist eine Funktion, deren Ableitung die Änderungsrate ergibt:

\[ F'(t) = f(t) \]

Das heißt: \(F(t)\) ist eine Stammfunktion von \(f(t)\). Da jede Stammfunktion eine freie Konstante \(C\) enthält, hat \(F(t)\) die Form:

\[ F(t) = \int f(t)\,dt = \text{Stammfunktion von } f(t) + C \]

Die Konstante \(C\) ist nicht gleich dem Anfangsbestand – sie wird durch Einsetzen eines bekannten Werts bestimmt, z. B. des Anfangsbestands:

\[ F(0) = \text{Anfangsbestand} \quad \Rightarrow \quad C \text{ ausrechnen} \]

Die zentrale Verbindung

\(F(t)\) ableiten:

\[ F(t) \xrightarrow{\text{ableiten}} f(t) \]

\(f(t)\) integrieren:

\[ f(t) \xrightarrow{\text{integrieren}} F(t) \]
Was ich weiß Was ich berechne Wie
\(f(t)\) = Änderungsrate Bestandsänderung im Intervall \([a, b]\) \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\)
\(f(t)\) + Anfangsbestand Bestandsfunktion \(F(t)\) Stammfunktion bilden + \(C\) bestimmen
Merksatz: \[ F'(t) = f(t) \qquad \Rightarrow \qquad F(t) = \int f(t)\,dt = \text{Stammfunktion von } f(t) + C \]

\(C\) wird durch Einsetzen eines bekannten Werts bestimmt, z. B.:

\[ F(0) = \text{Anfangsbestand} \]

Einführungsbeispiel: Podcast-Abonnenten

Ein Podcast gewinnt monatlich neue Abonnenten. Die Änderungsrate (Abonnenten pro Monat) beträgt:

\[ f(t) = 6e^{0{,}5t} \quad (t \text{ in Monaten, } f(t) \text{ in Abonnenten/Monat}) \]

Teil a) Zunahme von Monat 2 bis Monat 4

Gesucht: Um wie viele Abonnenten wächst der Podcast von Monat 2 bis Monat 4?

\[ \int_2^4 6e^{0{,}5t}\,dt = \left[\frac{6}{0{,}5} \cdot e^{0{,}5t}\right]_2^4 = \left[12e^{0{,}5t}\right]_2^4 \] \[ = 12e^{2} - 12e^{1} = 12 \cdot 7{,}389 - 12 \cdot 2{,}718 = 88{,}67 - 32{,}62 \approx 56 \text{ neue Abonnenten} \]
Die schattierte Fläche im linken Diagramm (zwischen \(t = 2\) und \(t = 4\)) entspricht genau dieser Bestandsänderung.

Teil b) Bestandsfunktion bestimmen

Gegeben: Zu Beginn (Monat 0) hatte der Podcast 80 Abonnenten.

Gesucht: Bestandsfunktion \(F(t)\)

Schritt 1 – Stammfunktion bilden:

\[ F(t) = \int 6e^{0{,}5t}\,dt = 12e^{0{,}5t} + C \]

Schritt 2 – Anfangsbedingung \(F(0) = 80\) einsetzen:

\[ 12e^{0} + C = 80 \quad\Rightarrow\quad 12 + C = 80 \quad\Rightarrow\quad C = 68 \]

Ergebnis:

\[ F(t) = 12e^{0{,}5t} + 68 \]

Probe: \(F(0) = 12 \cdot 1 + 68 = 80\) ✓

Das rechte Diagramm zeigt diese Bestandsfunktion \(F(t) = 12e^{0{,}5t} + 68\).

Aufgabenblock 1: Bestandsänderung im Zeitraum berechnen

Bei diesen Aufgaben ist die Änderungsrate \(f(t)\) gegeben. Berechne die Bestandsänderung im angegebenen Intervall mithilfe des bestimmten Integrals.

Gegeben: \(f(t) = 8t\)   (\(t\) in Sekunden, \(f(t)\) in m/s)
Gesucht: Zurückgelegte Strecke von der 3. bis zur 5. Sekunde

\[ \int_3^5 8t\,dt = \left[4t^2\right]_3^5 = 4 \cdot 25 - 4 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \text{ m} \]

Gegeben: \(f(t) = e^{-0{,}4t}\)   (\(t\) in Stunden, \(f(t)\) in m³/h)
Gesucht: Zugeflossene Wassermenge von Stunde 2 bis Stunde 8

\[ \int_2^8 e^{-0{,}4t}\,dt = \left[\frac{e^{-0{,}4t}}{-0{,}4}\right]_2^8 = \left[-2{,}5 \cdot e^{-0{,}4t}\right]_2^8 \] \[ = -2{,}5 \cdot e^{-3{,}2} - \left(-2{,}5 \cdot e^{-0{,}8}\right) = -0{,}102 + 1{,}123 \approx 1{,}021 \text{ m}^3 \]

Gegeben: \(f(t) = e^{0{,}3t} - 2\)   (\(t\) in Tagen, \(f(t)\) in Einheiten/Tag)
Gesucht: Bestandsänderung vom 5. bis zum 10. Tag

Tipp: Überlege zuerst, ob \(f(t)\) im Intervall durchgehend positiv oder negativ ist. Falls \(f(t)\) das Vorzeichen wechselt, interpretiere das Ergebnis sorgfältig!

\[ \int_5^{10} \left(e^{0{,}3t} - 2\right) dt = \left[\frac{e^{0{,}3t}}{0{,}3} - 2t\right]_5^{10} = \left[\frac{10}{3} \cdot e^{0{,}3t} - 2t\right]_5^{10} \]

Obere Grenze (\(t = 10\)):

\[ \frac{10}{3} \cdot e^{3} - 20 = 3{,}333 \cdot 20{,}086 - 20 = 66{,}95 - 20 = 46{,}95 \]

Untere Grenze (\(t = 5\)):

\[ \frac{10}{3} \cdot e^{1{,}5} - 10 = 3{,}333 \cdot 4{,}482 - 10 = 14{,}94 - 10 = 4{,}94 \]

Ergebnis:

\[ 46{,}95 - 4{,}94 \approx 42{,}01 \text{ Einheiten} \]

Aufgabenblock 2: Zeitpunkt einer bestimmten Änderung bestimmen

Idee: Man setzt das Integral von \(0\) bis \(x\) gleich der gewünschten Änderung und löst nach \(x\) auf.

\[ \int_0^x f(t)\,dt = \text{Zielwert} \quad \Rightarrow \quad x = \,? \]

Gegeben: \(f(t) = 6t\)   (\(t\) in Minuten, \(f(t)\) in m/min)
Gesucht: Wann beträgt die Zunahme genau 48 m?

\[ \int_0^x 6t\,dt = 48 \quad\Rightarrow\quad \left[3t^2\right]_0^x = 48 \quad\Rightarrow\quad 3x^2 = 48 \] \[ x^2 = 16 \quad\Rightarrow\quad x = 4 \]
Ergebnis: Nach 4 Minuten.

Gegeben: \(f(t) = -e^{1{,}5t}\)   (\(t\) in Stunden, \(f(t)\) in km/h)
Gesucht: Wann beträgt die Abnahme genau 40 km? (Integral = −40)

\[ \int_0^x -e^{1{,}5t}\,dt = -40 \quad\Rightarrow\quad \left[\frac{-e^{1{,}5t}}{1{,}5}\right]_0^x = -40 \] \[ \frac{-e^{1{,}5x}}{1{,}5} + \frac{1}{1{,}5} = -40 \quad\Rightarrow\quad \frac{-e^{1{,}5x} + 1}{1{,}5} = -40 \quad \big| \cdot 1{,}5 \] \[ -e^{1{,}5x} + 1 = -60 \quad\Rightarrow\quad e^{1{,}5x} = 61 \quad \big| \ln \] \[ 1{,}5x = \ln(61) \approx 4{,}111 \quad\Rightarrow\quad x \approx 2{,}74 \text{ Stunden} \]

Gegeben: \(f(t) = 3t + 8\)   (\(t\) in Jahren, \(f(t)\) in cm/Jahr)
Gesucht: Wann beträgt die Zunahme genau 100 cm?

\[ \int_0^x (3t + 8)\,dt = 100 \quad\Rightarrow\quad \left[\frac{3t^2}{2} + 8t\right]_0^x = 100 \] \[ 1{,}5x^2 + 8x = 100 \quad\Rightarrow\quad 1{,}5x^2 + 8x - 100 = 0 \]

Quadratische Formel (\(a = 1{,}5,\; b = 8,\; c = -100\)):

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 600}}{3} = \frac{-8 \pm \sqrt{664}}{3} = \frac{-8 \pm 25{,}77}{3} \] \[ x_1 = \frac{-8 + 25{,}77}{3} \approx 5{,}92 \qquad x_2 = \frac{-8 - 25{,}77}{3} \approx -11{,}26 \text{ (nicht sinnvoll)} \]
Ergebnis: Nach etwa 5,92 Jahren.

Anwendungsaufgabe: Erkältungswelle

Die Änderungsrate der erkrankten Personen (in Tausend pro Woche) beträgt:

\[ f(t) = -e^{-0{,}2t} \quad (t \text{ in Wochen, } f(t) \text{ in 1000 Erkrankten/Woche}) \]

Das Minuszeichen bedeutet: Die Zahl der Erkrankten nimmt ab – die Welle klingt ab.

Gesucht: Um wie viele Tausend Personen nimmt die Zahl der Erkrankten von Woche 5 bis Woche 12 ab?

\[ \int_5^{12} -e^{-0{,}2t}\,dt = \left[\frac{e^{-0{,}2t}}{0{,}2}\right]_5^{12} = \left[5e^{-0{,}2t}\right]_5^{12} \] \[ = 5e^{-2{,}4} - 5e^{-1{,}0} = 5 \cdot 0{,}0907 - 5 \cdot 0{,}3679 = 0{,}454 - 1{,}839 \approx -1{,}386 \]
Die Zahl der Erkrankten nimmt um etwa 1386 Personen ab.

Gesucht: Nach wie vielen Wochen hat die Zahl der Erkrankten um 3000 (= 3 in 1000er-Einheiten) abgenommen?

\[ \int_0^x -e^{-0{,}2t}\,dt = -3 \quad\Rightarrow\quad \left[5e^{-0{,}2t}\right]_0^x = -3 \] \[ 5e^{-0{,}2x} - 5 = -3 \quad\Rightarrow\quad 5e^{-0{,}2x} = 2 \quad \big| \div 5 \] \[ e^{-0{,}2x} = 0{,}4 \quad \big| \ln \quad\Rightarrow\quad -0{,}2x = \ln(0{,}4) \approx -0{,}916 \quad \big| \div(-0{,}2) \] \[ x \approx 4{,}58 \text{ Wochen} \]

Gegeben: Nach 3 Wochen waren genau 8000 Personen erkrankt, d.h. \(F(3) = 8\) (in 1000er).
Gesucht: Bestandsfunktion \(F(t)\)

Schritt 1 – Stammfunktion:

\[ F(t) = \int -e^{-0{,}2t}\,dt = \frac{e^{-0{,}2t}}{0{,}2} + C = 5e^{-0{,}2t} + C \]

Schritt 2 – Bedingung \(F(3) = 8\) einsetzen:

\[ 5e^{-0{,}6} + C = 8 \quad\Rightarrow\quad 5 \cdot 0{,}5488 + C = 8 \quad\Rightarrow\quad C \approx 5{,}256 \]
\[ F(t) = 5e^{-0{,}2t} + 5{,}256 \quad \text{(in 1000 Personen)} \]

Probe: \(F(0) = 5 \cdot 1 + 5{,}256 = 10{,}256\) → Zu Beginn waren ca. 10 256 Personen erkrankt.

Interaktives GeoGebra-Applet

Mathematische Notation vs. GeoGebra-Befehle

Wichtig für Klausuren: GeoGebra-Befehle dürfen NICHT in Klausuren als Notation verwendet werden! Du musst die mathematische Schreibweise (linke Spalte) verwenden.
Hinweis zu GeoGebra: Verwende die deutschen Befehle in GeoGebra (z.B. Löse, NLöse). Für die Stammfunktion unbedingt IntegralSymbolisch verwenden – damit wird kein Schieberegler erzeugt und die Integrationskonstante c2 steht für weitere Rechnungen (z.B. Anfangsbedingung) zur Verfügung.

Vergleiche die korrekte mathematische Notation mit der GeoGebra-Eingabe:

Mathematischer Ansatz
(So schreibst du es in Klausuren)		 GeoGebra-Befehl
(Eingabe in GeoGebra)		 Was wird berechnet?
Funktionsdefinition
\(f(t) = -e^{-0{,}2t}\) f(t) = -ℯ^(-0.2t) Bestandsänderungsrate definieren
Stammfunktion bestimmen
\(\int f(t)\,\text{d}t\)
(mit Integrationskonstante \(C\)) 		Integral(f, t)
Erzeugt automatisch einen Schieberegler für \(c_1\) – die Konstante lässt sich nicht weiter verwenden. 		Unbestimmtes Integral (erzeugt Schieberegler)
\(F(t) = \int f(t)\,\text{d}t\)
(mit Konstante \(c_2\)) 		F = IntegralSymbolisch(f, t)
Erzeugt die Stammfunktion \(F\) mit einer Konstanten c_{2}, die für weitere Rechnungen genutzt werden kann. 		Symbolische Stammfunktion (kein Schieberegler)
Anfangsbedingung bestimmen
\(F(0) = 3\)
\(\Rightarrow\) nach \(c_2\) auflösen 		Löse(F(0) = 3, c_{2}) Integrationskonstante \(c_2\) aus Anfangsbedingung bestimmen
Bestimmtes Integral (Bestandsänderung)
\(\displaystyle\int_5^{12} f(t)\,\text{d}t\) Integral(f, t, 5, 12) Bestandsänderung im Intervall \([5;\,12]\)
\(\displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t\) Integral(f, t, 0, x) Bestandsänderung von 0 bis \(x\) (als Funktion von \(x\))
Gleichungen lösen
\(5 \cdot e^{-\frac{1}{5}x} - 5 = -3\)
(numerische Lösung) 		NLöse(5 * ℯ^((-1/5) * x) - 5 = -3) Zeitpunkt einer bestimmten Bestandsänderung numerisch bestimmen
Arbeitsweise: Notiere die mathematischen Ansätze so, als würdest du die Rechnung händisch vornehmen. GeoGebra rechnet zwar für dich, aber notieren musst du es so, als würdest du es selber rechnen.

Mittelwert einer Funktion

Herleitung

Schritt 1 – Arithmetisches Mittel von \(n\) Funktionswerten:

\[ m_n = \frac{1}{n} \cdot \left(f(x_1) + \ldots + f(x_n)\right) \]

Schritt 2 – Ersetze \(\frac{1}{n}\) durch \(\frac{\Delta x}{b-a}\), mit \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\):

\[ m_n = \frac{1}{b-a} \cdot \left(f(x_1) \cdot \Delta x + \ldots + f(x_n) \cdot \Delta x\right) \]

Das ist eine Riemannsumme multipliziert mit \(\frac{1}{b-a}\).

Schritt 3 – Grenzwert \(n \to \infty\) (\(\Delta x \to 0\)):

\[ m_n \;\to\; \bar{m} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x)\,dx \]
Geometrische Bedeutung: Das Rechteck mit Breite \((b-a)\) und Höhe \(\bar{m}\) hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter dem Graphen von \(f\) auf \([a,\,b]\).
Definition – Mittelwert einer Funktion: \[ \bar{m} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x)\,dx \]

Gegeben: \(f(x) = -\frac{1}{8}x + 2\) auf \([-2;\,4]\)
Gesucht: Mittelwert \(\bar{m}\)

\[ \bar{m} = \frac{1}{4-(-2)} \cdot \int_{-2}^{4} \left(-\frac{1}{8}x + 2\right) dx = \frac{1}{6} \cdot \left[-\frac{x^2}{16} + 2x\right]_{-2}^{4} \]

Obere Grenze (\(x = 4\)):

\[ -\frac{16}{16} + 8 = -1 + 8 = 7 \]

Untere Grenze (\(x = -2\)):

\[ -\frac{4}{16} + (-4) = -\frac{1}{4} - 4 = -4{,}25 \]
\[ \bar{m} = \frac{1}{6} \cdot \left(7 - (-4{,}25)\right) = \frac{11{,}25}{6} = 1{,}875 \]

Gegeben: \(f(x) = -\frac{1}{80}x^3 + \frac{1}{8}x^2\) (Flugbahn eines Fußballs) auf \([3;\,9]\)
Gesucht: Mittlere Flughöhe \(\bar{m}\)

Stammfunktion:

\[ F(x) = -\frac{x^4}{320} + \frac{x^3}{24} \]

Obere Grenze (\(x = 9\)):

\[ F(9) = -\frac{6561}{320} + \frac{729}{24} = -20{,}503 + 30{,}375 = 9{,}872 \]

Untere Grenze (\(x = 3\)):

\[ F(3) = -\frac{81}{320} + \frac{27}{24} = -0{,}253 + 1{,}125 = 0{,}872 \]
\[ \bar{m} = \frac{1}{6} \cdot (9{,}872 - 0{,}872) = \frac{9}{6} = 1{,}5 \text{ m (mittlere Flughöhe)} \]

Gegeben: \(T(t) = 20 - \frac{1}{64}(t - 16)^2\) auf \([0;\,24]\)
Gesucht: Mittlere Tagestemperatur \(\bar{m}\)

Stammfunktion:

\[ F(t) = 20t - \frac{1}{192}(t - 16)^3 \]

Obere Grenze (\(t = 24\)):

\[ F(24) = 480 - \frac{1}{192} \cdot 8^3 = 480 - \frac{512}{192} = 480 - \frac{8}{3} \approx 477{,}333 \]

Untere Grenze (\(t = 0\)):

\[ F(0) = 0 - \frac{1}{192} \cdot (-16)^3 = \frac{4096}{192} \approx 21{,}333 \]
\[ \bar{m} = \frac{1}{24} \cdot (477{,}333 - 21{,}333) = \frac{456}{24} = 19\,°\text{C} \]

Zusammenfassung

Aufgabentyp Vorgehen
Bestandsänderung in \([a, b]\) \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) berechnen
Zeitpunkt einer bestimmten Änderung \(\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt = \text{Zielwert}\) setzen, nach \(x\) auflösen
Bestandsfunktion \(F(t)\) bestimmen Stammfunktion bilden + \(C\) über Anfangsbedingung bestimmen
Mittelwert von \(f\) auf \([a,b]\) \(\displaystyle\bar{m} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x)\,dx\)