Wurzelgesetze
Lerne die Rechenregeln für Quadratwurzeln kennen: Multiplikation und Division von Wurzeln, teilweises Wurzelziehen und das Rationalmachen des Nenners.
Grundlagen
Definition der Quadratwurzel
Die Quadratwurzel aus \(a\) ist diejenige nicht-negative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt:
\[ \sqrt{a} = b \quad \Longleftrightarrow \quad b^2 = a \quad (a \geq 0,\ b \geq 0) \]Dabei heißt \(a\) der Radikand.
Vorbemerkung: Summen und Differenzen irrationaler Zahlen sind in der Regel wieder irrationale Zahlen, deren Wert nur näherungsweise angegeben werden kann. Die folgenden Rechengesetze für rationale Zahlen gelten aber auch für irrationale Zahlen.
Im Folgenden gilt stets \(a, b \geq 0\).
Addition und Subtraktion
Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden lassen sich nicht zu einer einzelnen Wurzel zusammenfassen:
\[ \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b} \]Wurzeln mit gleichem Radikanden lassen sich nach dem Distributivgesetz zusammenfassen:
\[ x \cdot \sqrt{a} + y \cdot \sqrt{a} = (x + y) \cdot \sqrt{a} \]Beispiel 1:
\(3 \cdot \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} = (3 + 4) \cdot \sqrt{5} = 7 \cdot \sqrt{5}\)
Beispiel 2:
\(8 \cdot \sqrt{2} - 5 \cdot \sqrt{2} = (8 - 5) \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2}\)
Wurzelgesetz 1: Multiplikation
Quadratwurzeln werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und aus dem Produkt die Wurzel zieht.
Beispiel 1:
\(\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4\)
Beispiel 2:
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6\)
Teilweises Wurzelziehen
Lässt sich der Radikand als Produkt aus einer Quadratzahl und einem weiteren Faktor schreiben, so kann man die Wurzel teilweise ziehen. Man wendet Wurzelgesetz 1 in umgekehrter Richtung an:
\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \]Dadurch lassen sich Wurzelterme vereinfachen.
Beispiel 1:
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot \sqrt{2}\)
Beispiel 2:
\(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot \sqrt{2}\)
Beispiel 3 (Quadratzahl-Zerlegung weniger offensichtlich):
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3}\)
Beispiel 4 (mit Variablen):
\(\sqrt{50 x^2} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot x^2} = 5 x \cdot \sqrt{2} \quad (x \geq 0)\)
Wurzelgesetz 2: Division
Quadratwurzeln werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und aus dem Quotienten die Wurzel zieht.
Beispiel 1:
\(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\)
Beispiel 2:
\(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3\)
Nenner rational machen
Steht im Nenner eines Bruchs eine Wurzel, so erweitert man den Bruch geeignet, sodass der Nenner zu einer rationalen Zahl wird. Man unterscheidet zwei Fälle.
Fall 1: Reine Wurzel im Nenner
Man erweitert den Bruch mit dieser Wurzel. Wegen \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\) wird der Nenner rational.
Beispiel 1:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]Beispiel 2:
\[ \begin{align} \frac{6}{\sqrt{3}} &= \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \\ &= \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \end{align} \]Beispiel 3 (mit Variable, \(b > 0\)):
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \]Fall 2: Summe/Differenz mit Wurzel im Nenner
Hier nutzt man die 3. binomische Formel \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). Man erweitert mit dem konjugierten Term (Nenner mit umgedrehtem Vorzeichen).
Beispiel 1 (erweitern mit \(3 - \sqrt{2}\)):
\[ \begin{align} \frac{1}{3 + \sqrt{2}} &= \frac{3 - \sqrt{2}}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} \\ &= \frac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7} \end{align} \]Beispiel 2 (erweitern mit \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\)):
\[ \begin{align} \frac{4}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} &= \frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} \\ &= \frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \end{align} \]Beispiel 3 (mit Variablen, \(a, b > 0,\ a \neq b\)):
\[ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} &= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} \\ &= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \end{align} \]Typische Fehlerquellen
Achtung – diese „Gesetze" gelten nicht!
-
\(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
Beispiel: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), aber \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) - \(\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}\)
- Der Radikand muss stets \(\geq 0\) sein, sonst ist die Wurzel im Reellen nicht definiert.
Gemischte Aufgaben
In den folgenden Aufgaben werden mehrere Wurzelgesetze kombiniert.
Aufgabe 1
Fasse so weit wie möglich zusammen:
a) \(\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{2}\)
b) \(\sqrt{4a^2} + \sqrt{9a^2} - \sqrt{a^2}\) \((a \geq 0)\)
Aufgabe 2
Vereinfache:
a) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}\)
b) \(\sqrt{3x} \cdot \sqrt{12x}\) \((x \geq 0)\)
Aufgabe 3
Vereinfache:
a) \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{5}} + \sqrt{27}\)
b) \(\dfrac{\sqrt{12x^2}}{\sqrt{3x}} + \sqrt{x}\) \((x > 0)\)
Aufgabe 4
Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich:
a) \(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2} + 1}\)
b) \(\dfrac{a}{\sqrt{a} + 1}\) \((a > 0,\ a \neq 1)\)
Aufgabe 5
Mache den Nenner rational:
a) \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)
b) \(\dfrac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\) \((a, b > 0,\ a \neq b)\)