⊓
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
S

Übungsaufgaben: Quadratische Funktionen

15 Aufgaben in 5 Themenbereichen – mit interaktiven Graphen, Schritt-für-Schritt-Lösungen und sofortigem Feedback.

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Scheitelpunktform aus zwei Punkten bestimmen

Gegeben sind Scheitelpunkt S und ein weiterer Punkt. Bestimme den Streckungsfaktor \(a\) und die Funktionsgleichung \(f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e\).

Aufgabe 1a Leicht

Gegeben: Scheitelpunkt \(S(2 \mid -3)\) und Punkt \(P(4 \mid 5)\).

Gesucht: Streckungsfaktor \(a\) und Funktionsgleichung \(f(x)\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Scheitelpunktform ansetzen

Da \(S(2 \mid -3)\) der Scheitelpunkt ist, gilt:

\[f(x) = a \cdot (x - 2)^2 - 3\]

Schritt 2: Punkt \(P(4 \mid 5)\) einsetzen

\[5 = a \cdot (4 - 2)^2 - 3\] \[5 = a \cdot 4 - 3\] \[8 = 4a\] \[a = 2\]

Ergebnis:

\[f(x) = 2 \cdot (x - 2)^2 - 3\]

Aufgabe 1b Leicht

Gegeben: Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 4)\) und Punkt \(A(1 \mid 0)\).

Gesucht: Streckungsfaktor \(a\) und Funktionsgleichung \(f(x)\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Scheitelpunktform ansetzen

\[f(x) = a \cdot (x + 1)^2 + 4\]

Schritt 2: Punkt \(A(1 \mid 0)\) einsetzen

\[0 = a \cdot (1 + 1)^2 + 4\] \[0 = 4a + 4\] \[-4 = 4a\] \[a = -1\]

Ergebnis:

\[f(x) = -(x + 1)^2 + 4\]

Aufgabe 1c Mittel

Gegeben: Scheitelpunkt \(S(3 \mid 1)\) und Punkt \(B(0 \mid -8)\).

Gesucht: Streckungsfaktor \(a\) und Funktionsgleichung \(f(x)\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Scheitelpunktform ansetzen

\[f(x) = a \cdot (x - 3)^2 + 1\]

Schritt 2: Punkt \(B(0 \mid -8)\) einsetzen

\[-8 = a \cdot (0 - 3)^2 + 1\] \[-8 = 9a + 1\] \[-9 = 9a\] \[a = -1\]

Ergebnis:

\[f(x) = -(x - 3)^2 + 1\]

Aufgabe 1d Mittel

Gegeben: Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -6)\) und Punkt \(C(2 \mid 2)\).

Gesucht: Streckungsfaktor \(a\) und Funktionsgleichung \(f(x)\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Scheitelpunktform ansetzen

\[f(x) = a \cdot (x + 2)^2 - 6\]

Schritt 2: Punkt \(C(2 \mid 2)\) einsetzen

\[2 = a \cdot (2 + 2)^2 - 6\] \[2 = 16a - 6\] \[8 = 16a\] \[a = 0{,}5\]

Ergebnis:

\[f(x) = 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 6\]

Normalform aus drei Punkten bestimmen

Drei Punkte sind gegeben. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die Normalform \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Aufgabe 2a Leicht

Gegeben: \(A(0 \mid 2)\), \(B(1 \mid 6)\), \(C(-2 \mid 0)\).

Gesucht: Normalform \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Normalform ansetzen: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Schritt 2: Punkte einsetzen

\[A(0 \mid 2): \quad c = 2\]
\[B(1 \mid 6): \quad a + b + 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad a + b = 4\]
\[C(-2 \mid 0): \quad 4a - 2b + 2 = 0\] \[\Rightarrow \quad 4a - 2b = -2 \quad \Rightarrow \quad 2a - b = -1\]

Schritt 3: Gleichungssystem lösen

\[\text{I}: a + b = 4 \qquad \text{II}: 2a - b = -1\] \[\text{I} + \text{II}: 3a = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 1, \quad b = 3\]

Ergebnis:

\[f(x) = x^2 + 3x + 2\]

Aufgabe 2b Mittel

Gegeben: \(A(0 \mid -5)\), \(B(2 \mid 3)\), \(C(-1 \mid 0)\).

Gesucht: Normalform \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Normalform ansetzen: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Schritt 2: Punkte einsetzen

\[A(0 \mid -5): \quad c = -5\]
\[B(2 \mid 3): \quad 4a + 2b - 5 = 3\] \[\Rightarrow \quad 4a + 2b = 8 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = 4\]
\[C(-1 \mid 0): \quad a - b - 5 = 0\] \[\Rightarrow \quad a - b = 5\]

Schritt 3: Gleichungssystem lösen

\[\text{I}: 2a + b = 4 \qquad \text{II}: a - b = 5\] \[\text{I} + \text{II}: 3a = 9 \quad \Rightarrow \quad a = 3, \quad b = -2\]

Ergebnis:

\[f(x) = 3x^2 - 2x - 5\]

Aufgabe 2c Schwer

Gegeben: \(A(0 \mid 10)\), \(B(3 \mid 1)\), \(C(-2 \mid 6)\).

Gesucht: Normalform \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Normalform ansetzen: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Schritt 2: Punkte einsetzen

\[A(0 \mid 10): \quad c = 10\]
\[B(3 \mid 1): \quad 9a + 3b + 10 = 1\] \[\Rightarrow \quad 9a + 3b = -9 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = -3\]
\[C(-2 \mid 6): \quad 4a - 2b + 10 = 6\] \[\Rightarrow \quad 4a - 2b = -4 \quad \Rightarrow \quad 2a - b = -2\]

Schritt 3: Gleichungssystem lösen

\[\text{I}: 3a + b = -3 \qquad \text{II}: 2a - b = -2\] \[\text{I} + \text{II}: 5a = -5 \quad \Rightarrow \quad a = -1, \quad b = 0\]

Ergebnis:

\[f(x) = -x^2 + 10\]

Schnittpunkte von Parabel und Geraden

Bestimme die Schnittpunkte von \(f(x)\) und \(g(x)\) durch Gleichsetzen und Anwenden der p,q-Formel.

Aufgabe 3a Leicht

Gegeben: \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) und \(g(x) = x + 1\).

Gesucht: Schnittpunkte \(S_1\) und \(S_2\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Gleichsetzen

\[x^2 - 2x - 3 = x + 1\] \[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Schritt 2: p,q-Formel anwenden (\(p = -3\), \(q = -4\))

\[\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} \\ &= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \end{aligned}\]
\[x_1 = 4, \qquad x_2 = -1\]

Schritt 3: y-Werte über \(g(x) = x + 1\) berechnen

\[g(4) = 5, \qquad g(-1) = 0\]

Ergebnis: \(S_1(4 \mid 5)\) und \(S_2(-1 \mid 0)\)

Aufgabe 3b Mittel

Gegeben: \(f(x) = x^2 + 3x - 10\) und \(g(x) = -x + 2\).

Gesucht: Schnittpunkte \(S_1\) und \(S_2\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Gleichsetzen

\[x^2 + 3x - 10 = -x + 2\] \[x^2 + 4x - 12 = 0\]

Schritt 2: p,q-Formel (\(p = 4\), \(q = -12\))

\[x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 12} = -2 \pm 4\]
\[x_1 = 2, \qquad x_2 = -6\]

Schritt 3: y-Werte über \(g(x) = -x + 2\)

\[g(2) = 0, \qquad g(-6) = 8\]

Ergebnis: \(S_1(2 \mid 0)\) und \(S_2(-6 \mid 8)\)

Aufgabe 3c Schwer

Gegeben: \(f(x) = x^2 - 2x - 1\) und \(g(x) = -x^2 + 4x + 3\).

Gesucht: Schnittpunkte \(S_1\) und \(S_2\) der beiden Parabeln (auf zwei Dezimalstellen gerundet).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Gleichsetzen (beide Parabeln gleichsetzen)

\[x^2 - 2x - 1 = -x^2 + 4x + 3\] \[2x^2 - 6x - 4 = 0 \quad | \cdot \tfrac{1}{2}\] \[x^2 - 3x - 2 = 0\]

Schritt 2: p,q-Formel (\(p = -3\), \(q = -2\))

\[x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\]
\[x_1 \approx 3{,}56, \quad x_2 \approx -0{,}56\]

Schritt 3: y-Werte über \(f(x) = x^2 - 2x - 1\) berechnen

\[f(3{,}56) \approx 12{,}67 - 7{,}12 - 1 \approx 4{,}56\] \[f(-0{,}56) \approx 0{,}31 + 1{,}12 - 1 \approx 0{,}44\]

Ergebnis: \(S_1 \approx (3{,}56 \mid 4{,}56)\) und \(S_2 \approx (-0{,}56 \mid 0{,}44)\)

Geometrische Anwendungsaufgaben

Quadratische Funktionen in praktischen Kontexten: Wurf, Brückenbogen, Geometrie.

Aufgabe 4a Mittel

Aufgabe: Ein Ball wird aus einer Höhe von 1,5 m abgeschossen. Seine Flugbahn lässt sich durch die Funktion

\[h(x) = -0{,}025x^2 + x + 1{,}5\]

beschreiben, wobei \(x\) die zurückgelegte Horizontalstrecke (in m) und \(h(x)\) die Höhe (in m) angibt.

Bestimme: Abschusshöhe, maximale Höhe und Wurfweite.

Schrittweise Lösung:

Abschusshöhe (\(x = 0\)):

\[h(0) = 1{,}5 \text{ m}\]

Maximale Höhe – Scheitelpunkt über quadratische Ergänzung:

Schritt 1: Faktor \(a = -0{,}025\) ausklammern

\[h(x) = -0{,}025 \cdot (x^2 - 40x) + 1{,}5\]

Schritt 2: Quadratische Ergänzung – \(\left(\frac{40}{2}\right)^2 = 400\) addieren und subtrahieren

\[h(x) = -0{,}025 \cdot \left[(x - 20)^2 - 400\right] + 1{,}5\]

Schritt 3: Ausmultiplizieren und Scheitelpunktform ablesen

\[h(x) = -0{,}025 \cdot (x-20)^2 + 10 + 1{,}5\] \[h(x) = -0{,}025 \cdot (x-20)^2 + 11{,}5\]

Scheitelpunkt: \(S(20 \mid 11{,}5)\) → maximale Höhe 11,5 m bei \(x = 20\) m

Wurfweite – Nullstelle von \(h(x)\) für \(x > 0\) mit p,q-Formel:

\[-0{,}025x^2 + x + 1{,}5 = 0 \quad | \cdot (-40)\] \[x^2 - 40x - 60 = 0\] \[x_{1,2} = 20 \pm \sqrt{400 + 60} = 20 \pm \sqrt{460}\] \[x \approx 20 + 21{,}45 \approx 41{,}45 \text{ m}\]

Ergebnis: Abschusshöhe 1,5 m · Maximale Höhe 11,5 m (bei \(x = 20\) m) · Wurfweite ≈ 41,45 m

Aufgabe 4b Mittel

Aufgabe: Ein Brückenbogen hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel mit der Gleichung

\[f(x) = -0{,}1x^2 + 10\]

wobei \(x\) die horizontale Position (in m) und \(f(x)\) die Höhe (in m) beschreibt. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 0\).

Bestimme: Maximale Höhe, Gesamtbreite. Passt ein Fahrzeug mit 3,6 m Höhe und 4 m Breite unter die Brücke?

Schrittweise Lösung:

Maximale Höhe – Scheitelpunkt bei \(x = 0\):

\[f(0) = 10 \text{ m}\]

Gesamtbreite – Nullstellen:

\[-0{,}1x^2 + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 10\]
\[\text{Gesamtbreite} = 20 \text{ m}\]

Fahrzeug prüfen (Breite 4 m → \(x \in [-2; 2]\)):

\[f(2) = -0{,}1 \cdot 4 + 10 = 9{,}6 \text{ m}\]

An der engsten Stelle ist die Brücke 9,6 m hoch. Das Fahrzeug ist nur 3,6 m hoch – es passt problemlos durch.

Ergebnis: Maximale Höhe 10 m · Breite 20 m · Fahrzeug passt (Mindesthöhe 9,6 m > 3,6 m)

Aufgabe 4c Schwer

Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Umfang von 40 cm und eine Hypotenuse von 17 cm. Berechne die beiden Katheten \(a\) und \(b\).

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Gleichungen aufstellen

\[a + b + 17 = 40 \quad \Rightarrow \quad a + b = 23\] \[a^2 + b^2 = 17^2 = 289 \quad \text{(Satz des Pythagoras)}\]

Schritt 2: \(b = 23 - a\) einsetzen

\[a^2 + (23 - a)^2 = 289\] \[a^2 + 529 - 46a + a^2 = 289\]
\[2a^2 - 46a + 240 = 0\] \[a^2 - 23a + 120 = 0\]

Schritt 3: p,q-Formel (\(p = -23\), \(q = 120\))

\[\begin{aligned} a_{1,2} &= \frac{23}{2} \pm \sqrt{\frac{529}{4} - 120} \\ &= \frac{23}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{23}{2} \pm \frac{7}{2} \end{aligned}\]
\[a_1 = 15 \text{ cm}, \quad a_2 = 8 \text{ cm}\]

Ergebnis: Die Katheten sind \(a = 15\) cm und \(b = 8\) cm.

Probe: \(15 + 8 + 17 = 40\) ✓   \(15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2\) ✓

Extremwertaufgaben

Stelle eine quadratische Zielfunktion auf und bestimme das Maximum oder Minimum.

Aufgabe 5a Leicht

Aufgabe: Eine rechteckige Weide soll mit 60 m Zaun eingezäunt werden. Eine Seite wird durch eine Hauswand gebildet (kein Zaun nötig). Maximiere die Fläche.

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Variablen einführen

Sei \(a\) die Seite senkrecht zur Wand (2× benötigt), \(b\) die Seite parallel zur Wand (1× benötigt).

\[2a + b = 60 \quad \Rightarrow \quad b = 60 - 2a\]

Schritt 2: Zielfunktion aufstellen

\[A(a) = a \cdot b = a \cdot (60 - 2a) = -2a^2 + 60a\]

Schritt 3: Scheitelpunkt über quadratische Ergänzung

Faktor \(a = -2\) ausklammern:

\[A(a) = -2 \cdot (a^2 - 30a)\]

Ergänze \(\left(\frac{30}{2}\right)^2 = 225\):

\[A(a) = -2 \cdot \left[(a - 15)^2 - 225\right]\] \[= -2(a-15)^2 + 450\]

Scheitelpunkt: \(S(15 \mid 450)\) → \(a = 15\) m optimal

\[b = 60 - 2 \cdot 15 = 30 \text{ m}\]

Ergebnis: \(a = 15\) m, \(b = 30\) m, \(A_{\max} = 450\) m²

Aufgabe 5b Mittel

Aufgabe: Ein Schüler verkauft T-Shirts. Der Gewinn (in €) in Abhängigkeit vom Verkaufspreis \(x\) (in €) ist:

\[G(x) = -2x^2 + 120x - 1000\]

Bei welchem Preis \(x\) ist der Gewinn maximal?

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Faktor \(a = -2\) ausklammern

\[G(x) = -2(x^2 - 60x) - 1000\]

Schritt 2: Quadratische Ergänzung – \(\left(\frac{60}{2}\right)^2 = 900\) addieren und subtrahieren

\[G(x) = -2\left[(x-30)^2 - 900\right] - 1000\] \[= -2(x-30)^2 + 1800 - 1000\] \[= -2(x-30)^2 + 800\]

Scheitelpunkt: \(S(30 \mid 800)\) → \(G_{\max} = 800\) € bei \(x = 30\) €

Ergebnis: Bei einem Preis von \(x = 30\) € ist der Gewinn maximal: \(G_{\max} = 800\) €

Aufgabe 5c Mittel

Aufgabe: Aus einem 48 cm langen Draht soll ein Rechteck mit maximaler Fläche geformt werden. Zeige, dass das optimale Rechteck ein Quadrat ist.

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Umfangsbedingung

\[2a + 2b = 48 \quad \Rightarrow \quad b = 24 - a\]

Schritt 2: Zielfunktion

\[A(a) = a \cdot b = a \cdot (24 - a) = -a^2 + 24a\]

Schritt 3: Scheitelpunkt über quadratische Ergänzung

Faktor \(a = -1\) ausklammern:

\[A(a) = -(a^2 - 24a)\]

Ergänze \(\left(\frac{24}{2}\right)^2 = 144\):

\[A(a) = -\left[(a-12)^2 - 144\right] = -(a-12)^2 + 144\]

Scheitelpunkt: \(S(12 \mid 144)\) → \(a = 12\) cm optimal

\[b = 24 - 12 = 12 \text{ cm}\]

Ergebnis: \(a = b = 12\) cm – das Rechteck ist ein Quadrat. \(A_{\max} = 144\) cm²

Aufgabe 5d Schwer

Aufgabe: Zwei positive Zahlen haben die Summe 16. Für welche Wahl der beiden Zahlen ist die Summe ihrer Quadrate minimal?

Schrittweise Lösung:

Schritt 1: Nebenbedingung und Zielfunktion aufstellen

Sei \(x\) die erste Zahl, dann ist die zweite Zahl \(16 - x\) (mit \(0 < x < 16\)).

\[\begin{aligned} S(x) &= x^2 + (16-x)^2 \\ &= x^2 + 256 - 32x + x^2 \\ &= 2x^2 - 32x + 256 \end{aligned}\]

Schritt 2: Faktor \(a = 2\) ausklammern

\[S(x) = 2 \cdot (x^2 - 16x) + 256\]

Schritt 3: Quadratische Ergänzung – \(\left(\frac{16}{2}\right)^2 = 64\) addieren und subtrahieren

\[S(x) = 2 \cdot \left[(x-8)^2 - 64\right] + 256\] \[= 2(x-8)^2 - 128 + 256\] \[= 2(x-8)^2 + 128\]

Scheitelpunkt: \(S(8 \mid 128)\) → Minimum bei \(x = 8\)

Da \(a = 2 > 0\) ist die Parabel nach oben geöffnet – der Scheitelpunkt ist ein Minimum.

\[x = 8, \quad 16 - x = 8\]

Ergebnis: Beide Zahlen gleich 8 geben das Minimum: \(S_{\min} = 8^2 + 8^2 = 128\)

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