aⁿ
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
(aᵐ)ⁿ

Potenzgesetze

Lerne die fünf Potenzgesetze kennen und wende sie sicher an – von einfachen Beispielen bis hin zu gemischten Aufgaben mit negativen und gebrochenen Exponenten.

Grundlagen

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus gleichen Faktoren:

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{-mal}} \]

Dabei heißt \(a\) die Basis und \(n\) der Exponent.

Erweiterungen des Exponenten

Nullexponent
\[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \]
Negativer Exponent
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0) \]
Gebrochener Exponent
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a \geq 0) \]

Die Potenzgesetze

Gesetz 1: Multiplikation bei gleicher Basis

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

Beispiel 1:

\(3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729\)

Beispiel 2:

\(x^5 \cdot x^{-3} = x^{5+(-3)} = x^2\)

Gesetz 2: Division bei gleicher Basis

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0) \]

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

Beispiel 1:

\(\dfrac{2^7}{2^3} = 2^{7-3} = 2^4 = 16\)

Beispiel 2:

\(\dfrac{y^4}{y^9} = y^{4-9} = y^{-5} = \dfrac{1}{y^5}\)

Gesetz 3: Potenz einer Potenz

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert.

Beispiel 1:

\(\left(5^2\right)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625\)

Beispiel 2:

\(\left(x^{-3}\right)^4 = x^{-3 \cdot 4} = x^{-12} = \dfrac{1}{x^{12}}\)

Gesetz 4: Multiplikation bei gleichem Exponenten

\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

Beispiel 1:

\(2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000\)

Beispiel 2:

\(4^2 \cdot 25^2 = (4 \cdot 25)^2 = 100^2 = 10000\)

Gesetz 5: Division bei gleichem Exponenten

\[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad (b \neq 0) \]

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Beispiel 1:

\(\dfrac{12^4}{3^4} = \left(\dfrac{12}{3}\right)^4 = 4^4 = 256\)

Beispiel 2:

\(\dfrac{a^5}{b^5} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^5\)

Typische Fehlerquellen

Achtung – diese „Gesetze" gelten nicht!

  • \(a^m + a^n \neq a^{m+n}\)  –  Gesetz 1 gilt nur bei Multiplikation, nicht bei Addition!
  • \((a + b)^n \neq a^n + b^n\)  –  Ein Produkt wird potenziert, keine Summe!
  • \((-2)^4 = 16\), aber \(-2^4 = -16\)  –  Klammern beachten!

Gemischte Aufgaben

In den folgenden Aufgaben werden mehrere Potenzgesetze kombiniert.

Aufgabe 1

Vereinfache:

a) \(\dfrac{a^5 \cdot a^3}{a^4}\)

b) \(\dfrac{x^{-2} \cdot x^5}{x^{-1}}\)

Aufgabe 2

Vereinfache:

a) \(\left(x^3\right)^2 \cdot \left(x^2\right)^4\)

b) \(\left(y^{-2}\right)^3 \cdot \left(y^4\right)^2\)

Aufgabe 3

Vereinfache:

a) \(\dfrac{\left(2 a^2\right)^3}{4 a}\)

b) \(\dfrac{\left(3x^2\right)^2}{9x^5}\)

Aufgabe 4

Vereinfache:

a) \(\left(\dfrac{x^4}{y^2}\right)^3 \cdot \dfrac{y^5}{x^7}\)

b) \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3 \cdot \dfrac{b^4}{a^3}\)

Aufgabe 5

Vereinfache:

a) \(\dfrac{6^4 \cdot 3^{-2}}{2^4}\)

b) \(\dfrac{(ab)^3 \cdot a^{-2}}{b^2}\)