· b
\(f(x) = a \cdot b^{x}\)
%

Wachstum beschreiben

Bakterien, Zinsen, Medikamente, ein springender Ball: Überall dort, wo sich eine Größe pro Schritt mit demselben Faktor verändert, steckt \(f(x) = a \cdot b^x\) dahinter. Hier übst du, den Zusammenhang zu erkennen, die Gleichung aufzustellen und mit ihr zu rechnen.

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Zur Erinnerung

Art Funktionsterm Kennzeichen in der Wertetabelle Was pro Schritt passiert
linear \(f(x) = m \cdot x + c\) gleiche Differenzen \(y\) nimmt um \(m\) zu
quadratisch \(f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c\) Differenzen der Differenzen konstant –
exponentiell \(f(x) = a \cdot b^x\) gleiche Quotienten \(y\) wird mit \(b\) multipliziert

\(a = f(0)\) ist der Anfangswert, \(b\) der Wachstumsfaktor.
\(b > 1\): Zunahme  ·  \(0 < b < 1\): Abnahme  ·  \(b = 1 + \frac{p}{100}\) bzw. \(b = 1 - \frac{p}{100}\)

1. Wertetabellen zuordnen

Entscheide bei jeder Tabelle, ob ein linearer, quadratischer oder exponentieller Zusammenhang vorliegt. Die Knöpfe Differenzen und Quotienten rechnen dir die Zwischenschritte aus – probiere erst selbst, dann kontrolliere.

Tabelle A

\(x\) 0 1 2 3 4
\(y\) 3 6 12 24 48

Welcher Zusammenhang?

Tabelle B

\(x\) 0 1 2 3 4
\(y\) 2 5 8 11 14

Welcher Zusammenhang?

Tabelle C

\(x\) 0 1 2 3 4
\(y\) 0 2 8 18 32

Welcher Zusammenhang?

Tabelle D

\(x\) 0 1 2 3 4
\(y\) 100 80 64 51,2 40,96

Welcher Zusammenhang?

Tabelle E

\(x\) 0 1 2 3 4
\(y\) 5 6 9 14 21

Welcher Zusammenhang?

Tabelle F

\(x\) 0 1 2 3 4
\(y\) 10 7 4 1 -2

Welcher Zusammenhang?

2. Graphen und Gleichungen zuordnen

Ordne jedem Graphen die passende Funktionsgleichung zu. Zwei Gleichungen bleiben übrig. Achte besonders auf den \(y\)-Achsenabschnitt und darauf, ob der Graph steigt oder fällt.

(I) \(f(x) = 3 \cdot 2^x\)

(II) \(f(x) = 4 \cdot 0{,}5^x\)

(III) \(f(x) = 2^x\)

(IV) \(f(x) = 0{,}5 \cdot 3^x\)

(V) \(f(x) = 3 \cdot 0{,}8^x\)

(VI) \(f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x\)

3. Was machen \(a\) und \(b\)?

Verändere Anfangswert und Wachstumsfaktor und beobachte gleichzeitig Graph, Wertetabelle und Prozentsatz. Mit Festhalten frierst du eine Einstellung zum Vergleich ein.

3
1,5
\(x\) 0 1 2 3 4 5
\(f(x)\)
Quotient

Der Quotient zweier benachbarter Werte ist immer \(b\) – daran erkennst du exponentielles Wachstum in jeder Wertetabelle.

4. Prozentsatz und Wachstumsfaktor

In Textaufgaben steht meist ein Prozentsatz, in der Funktionsgleichung brauchst du den Faktor. Der Umrechner zeigt beide Richtungen.

Prozentsatz \(\rightarrow\) Faktor

%

Faktor \(\rightarrow\) Prozentsatz

Typischer Fehler

Bei \(25\,\%\) Abnahme ist \(b = 0{,}75\) und nicht \(b = 0{,}25\). Der Faktor beschreibt immer, wie viel übrig bleibt – nicht, wie viel verschwindet.

5. Textaufgaben modellieren

Stelle jeweils die Funktionsgleichung auf und beantworte die Fragen. Der Graph zeigt dir anschließend, wo die gesuchte Schwelle überschritten wird.

Aufgabe

6. Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Wenn der Anfangswert \(a\) nicht gegeben ist, hilft ein Trick: Der Quotient zweier Funktionswerte kürzt \(a\) weg und liefert zuerst \(b\).

1

Die Aufgabe

1 / 5

Das Verfahren in Kürze

Sind \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\) gegeben, so gilt:

\[ \frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a \cdot b^{x_2}}{a \cdot b^{x_1}} = b^{\,x_2 - x_1} \]

Daraus ziehst du die \((x_2 - x_1)\)-te Wurzel und erhältst \(b\). Anschließend setzt du einen der Punkte ein und berechnest \(a\).

7. Zeiteinheit umrechnen

Die Idee: Der Wachstumsfaktor gehört immer zu einem Zeitschritt. Wird die Zeiteinheit in \(k\) kleinere Schritte zerlegt, gilt \(b_{\text{klein}} = \sqrt[k]{b} = b^{\frac{1}{k}}\); werden \(k\) Schritte zusammengefasst, gilt \(b_{\text{groß}} = b^{\,k}\).

Der Regler zerlegt einen großen Zeitschritt in immer feinere Teilschritte. Beobachte: Die Treppenstufen werden kleiner, das Ergebnis am Ende der Zeiteinheit bleibt aber exakt gleich.

1
1,4

Mücken

Eine Mückenpopulation nimmt pro Woche um \(40\,\%\) zu.

  1. Funktionsgleichung mit \(t\) in Wochen (Anfangsbestand \(a\))?
  2. Wachstumsfaktor pro Tag?
  3. Um wie viel Prozent wächst die Population täglich?

Medikament

Ein Medikament wird pro Stunde um \(12\,\%\) abgebaut.

  1. Abnahmefaktor pro Tag?
  2. Wie viel Prozent des Wirkstoffs sind nach einem Tag noch vorhanden?

Verdopplung

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle \(3\) Stunden.

  1. Wachstumsfaktor pro Stunde?
  2. Wachstumsfaktor pro Tag?
  3. Zu Beginn sind \(200\) Bakterien da. Wie viele nach einem Tag?

Gleichungen der Form \(b^x = c\) lösen

Schreibe in die logarithmische Form um und werte direkt mit der Taschenrechnertaste \(\log_x(y)\) aus: \[ b^x = c \iff x = \log_b(c) \]

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