sin α
\(P\left(\cos\alpha \mid \sin\alpha\right)\)
r = 1

Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

Ein Kreis mit Radius 1 macht die Trigonometrie überraschend einfach: Sinus und Kosinus werden zu Koordinaten, der Tangens zu einer Strecke, die man ablesen kann. Schau dir die Animationen an und probiere alles selbst aus.

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Was du schon weißt

Im rechtwinkligen Dreieck hast du Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse kennengelernt:

\(\displaystyle \sin\alpha = \frac{\text{GK}}{\text{H}}\) \(\displaystyle \cos\alpha = \frac{\text{AK}}{\text{H}}\) \(\displaystyle \tan\alpha = \frac{\text{GK}}{\text{AK}}\)

Dabei ist GK die Gegenkathete, AK die Ankathete und H die Hypotenuse. Jedes Mal muss man einen Bruch ausrechnen. Die Idee dieser Seite: Was passiert, wenn die Hypotenuse genau 1 lang ist?

Vom Dreieck zum Einheitskreis

Unten siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\). Verändere mit dem Regler die Länge der Hypotenuse. Beobachte die Seitenlängen – und die beiden Verhältnisse rechts.

4,00
35°
Gegenkathete GK  
Ankathete AK  
GK : H = sin α  
AK : H = cos α  

Die Animation macht die Hypotenuse 1 lang, zoomt heran und lässt sie einmal herumlaufen.

Was du beobachtest

  • Wird das Dreieck kleiner, schrumpfen alle Seiten im gleichen Verhältnis. Die Brüche GK : H und AK : H bleiben deshalb gleich – sie hängen nur vom Winkel ab.
  • Bei \(\text{H} = 1\) fällt der Bruch weg: \(\sin\alpha = \frac{\text{GK}}{1} = \text{GK}\) und \(\cos\alpha = \frac{\text{AK}}{1} = \text{AK}\). Die Seitenlängen sind dann Sinus und Kosinus.
  • Dreht man die Hypotenuse der Länge 1 um den Ursprung, läuft ihr Ende auf einem Kreis mit Radius 1 – dem Einheitskreis.

Der Einheitskreis zum Ausprobieren

Ziehe den Punkt \(P\) auf dem Kreis (oder benutze den Regler). Der Winkel \(\alpha\) wird an der positiven \(x\)-Achse angetragen und gegen den Uhrzeigersinn gemessen.

Tipp: Du kannst überall in die Zeichnung tippen oder klicken.

40°
sin α (y-Koordinate)  
cos α (x-Koordinate)  
tan α (Höhe von T)  
Punkt P  

Merke

Der Einheitskreis ist der Kreis um den Ursprung \(O\) mit dem Radius 1. Zu jedem Winkel \(\alpha\) gehört ein Punkt \(P\) auf dem Kreis:

\[ P\left(\cos\alpha \mid \sin\alpha\right) \]

  • \(\cos\alpha\) ist die \(x\)-Koordinate von \(P\) (wie weit nach rechts),
  • \(\sin\alpha\) ist die \(y\)-Koordinate von \(P\) (wie hoch),
  • \(\tan\alpha\) ist die Höhe des Punktes \(T\) auf der Tangente bei \(x = 1\).

Warum liegt der Tangens auf der Tangente?

Sinus und Kosinus sitzen im kleinen Dreieck. Für den Tangens braucht man ein zweites, größeres Dreieck. Gehe die Schritte durch.

1

Das kleine Dreieck

Im Einheitskreis ist die Hypotenuse \(\overline{OP}\) ein Radius, also 1 lang. Die senkrechte Kathete ist \(\sin\alpha\), die waagerechte ist \(\cos\alpha\).

Für den Tangens bräuchten wir hier noch einen Bruch: \(\tan\alpha = \frac{\text{GK}}{\text{AK}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Geht das auch ohne?

Wir zeichnen die senkrechte Tangente an den Kreis im Punkt \((1 \mid 0)\) – also die Gerade \(x = 1\).

Dann verlängern wir den Radius \(\overline{OP}\), bis er die Tangente trifft. Den Schnittpunkt nennen wir \(T\).

Das kleine Dreieck wird vergrößert, ohne seine Form zu ändern – bis seine Ankathete genau 1 lang ist. Es passt dann genau zwischen \(O\), \((1 \mid 0)\) und \(T\).

Beide Dreiecke haben denselben Winkel \(\alpha\) und einen rechten Winkel. Sie sind ähnlich, ihre Seitenverhältnisse sind also gleich.

Im großen Dreieck ist die Ankathete 1. Also gilt

\[ \tan\alpha = \frac{\text{GK}}{\text{AK}} = \frac{\text{GK}}{1} = \text{GK} \]

Der Tangens ist einfach die Höhe des Punktes \(T\) – die orange Strecke auf der Tangente. Daher hat der Tangens seinen Namen.

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Taschenrechner: Modus DEG!

Winkel in Grad rechnet der Taschenrechner nur richtig, wenn oben im Display D bzw. DEG steht. Kontrolle: \(\sin 30^\circ\) muss \(0{,}5\) ergeben. Kommt \(-0{,}988\ldots\) heraus, steht der Rechner auf RAD.

Aufgaben mit Erklärungen

Die folgenden Aufgaben stammen aus dem Arbeitsblatt. Überlege bei jeder Aufgabe zuerst selbst, bevor du die Animation oder die Erklärung öffnest.

Aufgabe 1: Werte ablesen

Lies am Viertelkreis \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) und (soweit möglich) \(\tan\alpha\) auf zwei Nachkommastellen ab. Ein kleines Kästchen entspricht \(0{,}02\). Liegt \(T\) über dem Rand, berechnest du \(\tan\alpha\) mit dem Taschenrechner. Auf dem Arbeitsblatt übst du die Winkel 10°, 20°, … – hier bekommst du andere.

α = 35°

 

Aufgabe 2: Den Einheitskreis untersuchen

Wähle eine Teilaufgabe. Überlege zuerst, dann starte die Animation und öffne zum Schluss die Erklärung.

 

α  
sin α  
cos α  
tan α  

a) Zeichne den Radius für \(45^\circ\) bis zur Tangente ein. Was gilt für \(\sin 45^\circ\), \(\cos 45^\circ\) und \(\tan 45^\circ\)?

b) Vergleiche \(\sin 20^\circ\) mit \(\cos 70^\circ\) und \(\sin 30^\circ\) mit \(\cos 60^\circ\). Was fällt dir auf? Formuliere eine Vermutung.

c) Was passiert mit \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\), wenn \(\alpha\) immer näher an \(90^\circ\) heranrückt?

d) Und was passiert, wenn \(\alpha\) immer kleiner wird (gegen \(0^\circ\))?

e) Begründe: Für Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liegen \(\sin\alpha\) und \(\cos\alpha\) immer zwischen 0 und 1.

Aufgabe 3★: Zusammenhänge entdecken

a) Begründe mit dem Satz des Pythagoras: \((\sin\alpha)^2 + (\cos\alpha)^2 = 1\)

Über jeder Seite des Dreiecks ist ein Quadrat errichtet. Verändere den Winkel und beobachte die drei Flächeninhalte.

35°
(sin α)² 
+ (cos α)² 
= Summe 

b) Berechne den Quotienten \(\sin\alpha : \cos\alpha\) und vergleiche mit \(\tan\alpha\). Was vermutest du?

Benutze die gerundeten Werte aus der Tabelle des Arbeitsblatts und runde dein Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

\(\alpha\) \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\) \(\sin\alpha : \cos\alpha\) \(\tan\alpha\) (Tabelle)
20°0,340,94 0,36
30°0,500,87 0,58
40°0,640,77 0,84

Zusammenfassung

Vervollständige den Merksatz.

Am Einheitskreis (Radius ) gehört zu jedem Winkel α ein Punkt P auf dem Kreis.

Die x-Koordinate von P ist , die y-Koordinate von P ist .

Der Abschnitt auf der Tangente bei x = 1 ist .

Ausblick: Einmal ganz herum

Bisher hat sich \(P\) nur im ersten Viertel bewegt. Was passiert, wenn \(P\) weiter läuft? Die \(y\)-Koordinate von \(P\) – also \(\sin\alpha\) – wird rechts als Graph mitgezeichnet.

Über \(90^\circ\) hinaus gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mehr mit \(\alpha\) als Innenwinkel – aber den Punkt \(P\) gibt es weiterhin. Deshalb definiert man: \(\sin\alpha\) ist die \(y\)-Koordinate von \(P\), auch wenn sie negativ wird. So entsteht die Sinusfunktion.

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